Photozelle: Planck-Konstante aus einer Messreihe
Eine Photozelle mit Cäsium-Kathode wird mit LEDs verschiedener Wellenlänge beleuchtet. Die Gegenspannung wird so eingestellt, dass der Photostrom gerade verschwindet. Die Messunsicherheit der Gegenspannung beträgt ±0,02 V, die der Wellenlänge ±2 nm. Es liegen die Werte (λ; U_G): (400 nm; 1,00 V), (450 nm; 0,66 V), (500 nm; 0,38 V) vor. Die Kathode hat nach Datenblatt eine Austrittsarbeit von etwa 2,1 eV. Ein Schüler trägt U_G gegen 1/λ auf und erhält näherungsweise eine Gerade, deren Steigung er mit 1,24·10⁻⁶ V·m angibt. Er möchte daraus das Plancksche Wirkungsquantum bestimmen und prüfen, ob der Literaturwert 6,626·10⁻³⁴ J·s innerhalb der Messunsicherheit liegt. Diskutiert wird außerdem, ob ein Kontaktpotential von 0,05 V die Auswertung systematisch verfälscht. Die LEDs werden vor jeder Messung zehn Minuten betrieben.
1. Leiten Sie aus dem Photoeffekt den linearen Zusammenhang zwischen U_G und 1/λ her. Bestimmen Sie mit der angegebenen Steigung das Plancksche Wirkungsquantum und vergleichen Sie es mit dem Literaturwert.
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Beim Photoeffekt gilt e·U_G = h·c/λ − W, also U_G = (h·c/e)·(1/λ) − W/e. Die Auftragung U_G gegen 1/λ ist daher linear; die Steigung ist m = h·c/e. Auflösen nach h: h = m·e/c. Mit m = 1,24·10⁻⁶ V·m, e = 1,602·10⁻¹⁹ C und c = 3,00·10⁸ m/s folgt h ≈ 1,24·10⁻⁶ · 1,602·10⁻¹⁹ / 3,00·10⁸ J·s ≈ 6,62·10⁻³⁴ J·s. Der Literaturwert 6,626·10⁻³⁴ J·s liegt damit sehr nahe; die relative Abweichung ist etwa 0,1 %. Allerdings ist die Steigung aus nur drei Punkten und mit ±0,02 V Spannungsunsicherheit behaftet; eine realistische Unsicherheit von einigen Prozent ist größer als diese kleine Abweichung. Der Literaturwert ist daher mit den Daten verträglich.
2. Bestimmen Sie aus den Daten die Austrittsarbeit und prüfen Sie die Datenblattangabe.
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Mit dem 400-nm-Punkt: E_Ph = h·c/λ ≈ 6,626·10⁻³⁴ · 3,00·10⁸ / (400·10⁻⁹) J ≈ 4,97·10⁻¹⁹ J ≈ 3,10 eV. Daraus W = E_Ph − e·U_G ≈ 3,10 eV − 1,00 eV = 2,10 eV. Kontrolle mit 500 nm: E_Ph ≈ 2,48 eV, W ≈ 2,48 − 0,38 = 2,10 eV. Die Datenblattangabe 2,1 eV wird also gut bestätigt. Der 450-nm-Punkt liefert 2,76 eV − 0,66 eV = 2,10 eV. Die drei Punkte sind innerhalb der angegebenen Spannungsunsicherheit konsistent; die Austrittsarbeit ist damit etwa 2,10 eV.
3. Beurteilen Sie den Einfluss eines Kontaktpotentials von 0,05 V auf die bestimmte Austrittsarbeit und auf die Steigung. Erklären Sie, warum eine Steigungsbestimmung robuster sein kann.
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Ein Kontaktpotential wirkt wie eine konstante Verschiebung der gemessenen Gegenspannung: U_gemessen = U_ideal + U_Kontakt. Dadurch ändert sich der Achsenabschnitt der Geraden, also die bestimmte Austrittsarbeit, um etwa 0,05 eV; die Steigung bleibt dagegen unverändert. Für h ist die Auswertung über die Steigung daher robuster als eine Einzelpunktauswertung über W. Für die Austrittsarbeit müsste man das Kontaktpotential unabhängig kalibrieren, z. B. mit einer Referenzkathode bekannter Austrittsarbeit. Die 0,05 V sind kleiner als die Streuung der drei Messpunkte, aber systematisch und damit nicht durch Mittelung zu entfernen.