Myonen auf der Bergstation: Zeitdilatation prüfen
Bei einem Praktikum auf einer Bergstation werden Myonen des kosmischen Strahlenspektrums mit zwei identischen Szintillationsdetektoren nachgewiesen. Der obere Detektor befindet sich 2000 m über dem unteren. Die mittlere Geschwindigkeit der registrierten Myonen wird zu 0,99 c bestimmt; die Eigenlebensdauer der Myonen beträgt 2,20 µs. Nach Untergrundkorrektur werden oben 1000 Ereignisse pro Minute und unten 600 ± 50 Ereignisse pro Minute gemessen. Eine Studentin berechnet mit der klassischen Zerfallsformel eine erwartete untere Rate von etwa 47 Ereignissen pro Minute, mit der relativistischen Zeitdilatation dagegen etwa 650. Sie fragt, ob die Messung die Zeitdilatation bestätigt oder ob die Energieverteilung der Myonen die Aussage unbrauchbar macht. Die Detektoren haben eine zeitliche Auflösung von 1 ns; die Ansprechwahrscheinlichkeiten werden als gleich angenommen. Die Nachweisfläche beträgt jeweils 0,25 m².
1. Berechnen Sie die Überlebenswahrscheinlichkeit ohne und mit Zeitdilatation für die Strecke 2000 m und vergleichen Sie mit den Messdaten.
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Mit v = 0,99c ≈ 2,97·10⁸ m/s ist die Laborzeit t = 2000 m / (2,97·10⁸ m/s) ≈ 6,73·10⁻⁶ s. Ohne Zeitdilatation wäre die Überlebenswahrscheinlichkeit N/N₀ = exp(−t/τ) = exp(−6,73/2,20) ≈ exp(−3,06) ≈ 0,047, also etwa 47 von 1000. Mit Zeitdilatation ist der Lorentzfaktor γ = 1/sqrt(1 − 0,99²) ≈ 7,09. Im Myonensystem vergeht nur die Eigenzeit t₀ = t/γ ≈ 0,949 µs; damit folgt N/N₀ = exp(−0,949/2,20) ≈ exp(−0,431) ≈ 0,65, also etwa 650 von 1000. Die gemessene Rate 600 ± 50 entspricht 0,60 ± 0,05 und liegt gut mit der relativistischen Vorhersage 0,65 zusammen; die klassische Vorhersage 0,047 wird klar verworfen.
2. Beurteilen Sie, ob die gemessene Rate die Zeitdilatation bestätigt. Gehen Sie auf die Energieverteilung der Myonen und auf mögliche systematische Fehler ein.
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Die Messung spricht deutlich für die Zeitdilatation, aber sie ist kein hochpräziser Test: Die Myonen haben eine breite Energieverteilung, und die angegebene mittlere Geschwindigkeit 0,99c beschreibt nicht exakt diejenigen Myonen, die unten noch nachgewiesen werden. Langsamere Myonen zerfallen häufiger, schnellere überleben bevorzugt; dadurch kann die effektive Überlebenswahrscheinlichkeit verschoben werden. Hinzu kommen Unsicherheiten durch Untergrundkorrektur, unterschiedliche Ansprechwahrscheinlichkeiten der Detektoren und die endliche Öffnung der Detektoren. Die Diskrepanz zwischen 0,60 und 0,65 ist klein gegenüber dem Unterschied zur klassischen Vorhersage 0,047. Man kann daher sagen: Die Daten stützen die relativistische Zeitdilatation stark, eine saubere Bestimmung von γ würde aber eine geschwindigkeitsaufgelöste Messung oder eine Simulation des Spektrums erfordern.