Laiterie des Aurès : seuil de rentabilité et prévision des ventes par la régression
La Laiterie des Aurès fabrique deux produits, le lait en sachet (produit A) et le yaourt nature (produit B). Les charges fixes annuelles s'élèvent à 2 400 000 DA. Pour le produit A, le prix de vente est de 120 DA l'unité et le coût variable unitaire de 72 DA. Pour le produit B, le prix de vente est de 200 DA et le coût variable unitaire de 130 DA. Le chiffre d'affaires prévisionnel de l'exercice est de 7 200 000 DA pour A et de 4 800 000 DA pour B. Par ailleurs, le directeur commercial a relevé sur six mois consécutifs les dépenses de publicité (x, en milliers de DA) et le chiffre d'affaires correspondant (y, en milliers de DA) : (10 ; 80), (12 ; 85), (15 ; 95), (18 ; 100), (20 ; 108), (25 ; 120). Il envisage de doubler le budget publicitaire pour l'exercice suivant et souhaite savoir si cette dépense est le meilleur emploi des ressources, alors que deux lignes de production tournent à 65 % de leur capacité et que les charges fixes sont jugées excessives.
1. Calculer le taux de marge sur coût variable global, le seuil de rentabilité en chiffre d'affaires, la marge de sécurité et le levier opérationnel.
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1. Taux de MCV par produit :
- Produit A : (120 − 72)/120 = 48/120 = 40 %
- Produit B : (200 − 130)/200 = 70/200 = 35 %
2. MCV globale en valeur :
- A : 7 200 000 × 40 % = 2 880 000 DA
- B : 4 800 000 × 35 % = 1 680 000 DA
- Total MCV = 4 560 000 DA ; CA total = 12 000 000 DA
- Taux de MCV moyen = 4 560 000/12 000 000 = 38 %
3. Seuil de rentabilité : SR = charges fixes / taux de MCV = 2 400 000/0,38 = 6 315 789,47 DA (arrondi 6 315 790 DA).
4. Marge de sécurité : MS = CA − SR = 12 000 000 − 6 315 789 = 5 684 211 DA, soit 47,4 % du CA. L'entreprise peut perdre près de la moitié de son chiffre d'affaires avant de basculer en perte.
5. Résultat et levier opérationnel :
- Résultat = MCV − CF = 4 560 000 − 2 400 000 = 2 160 000 DA
- Levier opérationnel = MCV/Résultat = 4 560 000/2 160 000 = 2,11
Lecture de gestion : une baisse de 10 % du chiffre d'affaires ferait chuter le résultat d'environ 21 %. Le risque d'exploitation est réel malgré une marge de sécurité confortable, car les charges fixes sont lourdes et la capacité n'est utilisée qu'à 65 %. Note : le taux de MCV moyen dépend du mix de produits ; il ne faut pas faire la moyenne simple de 40 % et 35 %.
2. Déterminer la droite de régression de y en x, le coefficient de corrélation, puis prévoir le chiffre d'affaires pour 30 000 DA de publicité. Préciser la limite de validité.
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1. Moyennes : x̄ = (10+12+15+18+20+25)/6 = 100/6 = 16,67 ; ȳ = (80+85+95+100+108+120)/6 = 588/6 = 98.
2. Sommes des écarts :
- Σ(x − x̄)(y − ȳ) = (−6,67)(−18) + (−4,67)(−13) + (−1,67)(−3) + (1,33)(2) + (3,33)(10) + (8,33)(22) = 120 + 60,7 + 5 + 2,7 + 33,3 + 183,3 = 405
- Σ(x − x̄)² = 44,4 + 21,8 + 2,8 + 1,8 + 11,1 + 69,4 = 151,3
- Σ(y − ȳ)² = 324 + 169 + 9 + 4 + 100 + 484 = 1 090
3. Droite de régression : a = 405/151,3 = 2,68 ; b = 98 − 2,68 × 16,67 = 98 − 44,7 = 53,3. D'où y = 2,68x + 53,3 (en milliers de DA).
4. Corrélation : r = 405/√(151,3 × 1 090) = 405/√164 917 = 405/406,1 = 0,997. La liaison est quasi parfaite et positive.
5. Prévision pour x = 30 : y = 2,68 × 30 + 53,3 = 80,4 + 53,3 = 133,7 milliers de DA, soit environ 134 000 DA.
Limites de validité - point essentiel :
- Extrapolation hors du domaine observé (x de 10 à 25) : la prévision à 30 est une extrapolation, d'autant plus risquée que la relation publicité/ventes connaît des rendements décroissants.
- Corrélation n'est pas causalité : les ventes peuvent croître pour des raisons saisonnières ou concurrentielles corrélées à la période de publicité.
- Six observations seulement : la précision de l'estimation est faible et aucune marge d'erreur n'est calculée.
3. Le directeur hésite entre augmenter la publicité de 5 000 DA ou réduire les charges fixes de 100 000 DA. Comparer les deux options à l'aide des outils précédents et recommander une décision.
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Option 1 - Publicité supplémentaire de 5 000 DA : Selon la droite, Δy = 2,68 × 5 = 13,4 milliers de DA de chiffre d'affaires, soit 13 400 DA. Cette somme n'est pas un gain : seule la marge sur coût variable est acquise, soit 13 400 × 38 % = 5 092 DA de MCV supplémentaire. Il faut ensuite retirer la dépense publicitaire elle-même : 5 092 − 5 000 = +92 DA. L'opération est quasiment neutre.
Option 2 - Réduction des charges fixes de 100 000 DA : La réduction se traduit intégralement en résultat : +100 000 DA, sans effet sur le chiffre d'affaires.
Comparaison : 100 000 DA contre 92 DA. Le rapport est de plus de mille. La conclusion est sans ambiguïté : à ce niveau d'utilisation des capacités (65 %), la publicité additionnelle ne se transforme pas en profit, car la marge dégagée est absorbée par le coût de la campagne.
Recommandation argumentée :
- Priorité à la maîtrise des charges fixes : renégocier les contrats, externaliser ou mutualiser la logistique, réduire les stocks dormants.
- Ne pas doubler la publicité avant d'avoir vérifié la capacité à absorber la demande supplémentaire : la ligne tourne à 65 %, mais si le goulot est sur une seule ligne, la production supplémentaire exigera des heures supplémentaires coûteuses.
- Réallouer la publicité vers le produit B ? Non : son taux de MCV (35 %) est inférieur à celui de A (40 %).
Réserve de méthode : le calcul suppose que la relation publicité/ventes est linéaire et que la marge reste à 38 % ; ces deux hypothèses doivent être testées, non supposées.