Statistiques en filière littéraire : une moyenne juste par hasard
En mathématiques, filière littéraire, un exercice porte sur les dépenses culturelles mensuelles de 40 familles, regroupées en quatre classes : [0 ; 2000[ (6 familles), [2000 ; 4000[ (12), [4000 ; 6000[ (14), [6000 ; 8000[ (8). Trois questions : calculer la moyenne, déterminer la classe médiane, puis décider si « 25 % des familles dépensent moins de 2000 DA ». La copie répond : moyenne = 4000 DA, obtenue en prenant le centre de chaque classe (1000, 3000, 5000, 7000) puis la moyenne simple de ces quatre nombres ; classe médiane = [4000 ; 6000[ « parce que c'est la classe du milieu du tableau » ; et « oui, 25 % » à la dernière question, sans aucun calcul. Le barème sur 10 prévoit 3 points pour la moyenne, 3 pour la médiane, 2 pour le pourcentage, 2 pour la rédaction et la justification. L'enseignant doit noter la copie et décider ce qu'il reprend en classe.
1. Notez la copie sur 10 en détaillant chaque item, et expliquez comment traiter le cas d'une réponse exacte obtenue par un raisonnement faux.
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Note proposée : 3,5/10.
- Moyenne : 0,5/3. La méthode est fausse : l'élève fait la moyenne simple des centres de classes, ce qui ignore les effectifs. Le résultat affiché (4000 DA) est proche de la valeur exacte (4200 DA), mais par coïncidence. On accorde 0,5 point pour avoir su identifier les centres de classes - seul élément correct du calcul.
- Médiane : 1/3. La classe donnée est exacte, mais la justification (« classe du milieu du tableau ») est un critère de position visuelle, pas de statistique. Une bonne réponse avec un raisonnement faux ne vaut pas la totalité : le 1 point récompense le résultat, la justification manquante empêche les 2 points restants.
- Pourcentage : 0/2. Réponse « oui » fausse, sans aucun calcul : rien à créditer. 25 % de 40 = 10 familles ; or seules 6 familles sont sous 2000 DA, soit 15 %.
- Rédaction et justification : 2/2. Les trois réponses sont clairement identifiables et rédigées.
Principe appliqué : une réponse exacte sans méthode n'est pas un acquis, mais elle n'est pas non plus une absence de réponse. On crédite le résultat partiellement et on écrit sur la copie : « résultat exact, méthode à revoir - ne te fier pas à la coïncidence ». Le message doit être lisible par l'élève, pas seulement codé par un chiffre.
2. Rédigez l'explication de cours (avec un mini-contre-exemple) qui traite la confusion d'origine.
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Ce qui est confondu : la classe n'est pas une valeur.
Une classe [2000 ; 4000[ ne dit pas que les familles dépensent 3000 DA ; elle dit qu'on ne connaît pas leur dépense exacte. Le centre 3000 n'est qu'une hypothèse de répartition uniforme à l'intérieur de la classe. Or ces centres n'ont pas le même poids : ils représentent 6, 12, 14 et 8 familles. Faire la moyenne simple des quatre centres revient à traiter comme égaux des groupes inégaux - ici, la classe [6000 ; 8000[ pèserait autant que celle qui contient trois fois plus de familles.
Calcul correct : (6×1000 + 12×3000 + 14×5000 + 8×7000) ÷ 40 = (6000 + 36000 + 70000 + 56000) ÷ 40 = 168000 ÷ 40 = 4200 DA.
Mini-contre-exemple à donner en classe : reprendre les mêmes centres mais avec les effectifs 30, 5, 3, 2. La moyenne simple des centres donne toujours 4000 DA, alors que la moyenne réelle tombe à 1000×30/40 + … ≈ 2000 DA. L'écart devient énorme. L'élève voit alors que sa méthode ne « marche » que lorsque les effectifs sont à peu près équilibrés - situation qui n'a aucune raison d'être garantie en examen.
Pour la médiane : utiliser les effectifs cumulés croissants (6 ; 18 ; 32 ; 40). Le rang 20 (moitié de 40) tombe dans [4000 ; 6000[, d'où la classe médiane. La justification tient en une ligne et remplace « le milieu du tableau ».
3. Le résultat erroné (4000) est très proche du résultat exact (4200). Comment l'enseignant doit-il exploiter cette proximité plutôt que la subir ?
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Cette proximité est pédagogiquement précieuse : elle fournit la preuve que la méthode employée n'est pas seulement « non conforme », elle est non fiable. Il faut donc la retourner en expérience.
Première étape - faire constater la coïncidence. Demander à la classe de calculer la moyenne exacte, puis de comparer 4000 et 4200. L'écart de 200 DA semble anodin. C'est le moment d'introduire le contre-exemple à effectifs déséquilibrés (30, 5, 3, 2), où la même méthode donne un résultat deux fois trop grand. Conclusion à écrire dans le cahier : une méthode qui donne parfois un résultat proche reste fausse ; la réussite d'un calcul ne prouve pas la validité du raisonnement.
Deuxième étape - institutionnaliser un contrôle. Faire de la vérification un réflexe : après tout calcul de moyenne pondérée, vérifier que le résultat est compris entre le plus petit et le plus grand centre, et que sa position reflète les effectifs. Ici, 4200 est légèrement supérieur à 4000, ce qui est cohérent puisqu'une majorité de familles (22 sur 40) est au-dessus de 4000 DA ; l'élève pouvait détecter l'erreur par ce simple contrôle d'ordre de grandeur.
Troisième étape - évaluation. Replacer un item analogue dans le devoir suivant avec des effectifs volontairement très inégaux, pour vérifier que la méthode a changé et non seulement le résultat.