Mudelraketi lend: ruutfunktsiooni tõlgendamine
Kooli spordinädalal lasevad 9. klassid staadionil õhku mudelraketi, millele on kinnitatud kõrgusandur. Andur salvestab kõrguse meetrites iga 0,1 sekundi järel ja õpetaja kinnitab, et mudel h(t) = 1,5 + 20t − 5t² kirjeldab mõõdetud kõrguste rida hämmastavalt hästi (t sekundites, h meetrites maapinnast). Rakett lastakse välja 1,5 meetri kõrguselt platvormilt ja maandub staadioni murule. Raketi mass on 240 grammi ja see ei muutu lennu jooksul. Katsetus toimub tuulevaiksel päeval, nii et kõrvalehälvet ei arvestata. Kõrgust mõõdetakse kuni hetkeni, mil rakett puudutab maad; pärast seda mudel enam ei kehti. Üks õpilane väidab, et rakett oli 15 meetri kõrgusel kahel erineval ajahetkel, ja tahab selle põhjal väita, et andur töötas valesti. Õpetaja palub klassil väide kas matemaatiliselt kinnitada või ümber lükata ning koostada lühike selgitus, mis sobiks kooli ajalehe artiklisse. Arvutustes tuleb vastused ümardada kahe kümnendkoha täpsusega.
1. Leia raketi suurim kõrgus ja ajahetk, millal see saavutatakse. Näita, kuidas tulemus tuleneb valemist, mitte ainult tabelist.
Read the worked answer
h(t) = 1,5 + 20t − 5t² on ruutfunktsioon, kus a = −5 < 0, seega parabool avaneb alla ja haripunkt annab maksimumi.
Haripunkti t-koordinaat: t = −b/(2a) = −20/(2 · (−5)) = 2,00 s.
Kõrgus: h(2) = 1,5 + 20 · 2 − 5 · 2² = 1,5 + 40 − 20 = 21,50 m.
Kontrolliks ruudu eraldamine: h(t) = −5(t² − 4t) + 1,5 = −5((t − 2)² − 4) + 1,5 = −5(t − 2)² + 21,5. Miinusmärgiga liige on alati ≤ 0, seega h ≤ 21,5 ja võrdus kehtib ainult t = 2 juures. Mõlemad meetodid annavad sama vastuse: 21,5 m kahe sekundi pärast starti.
2. Millal puudutab rakett maad? Anna vastus kahe kümnendkoha täpsusega ja selgita, mida teha teise lahendiga ning mis on mudeli kehtivuspiirkond.
Read the worked answer
Maapinna kõrgus on h = 0: 1,5 + 20t − 5t² = 0 | · (−1) 5t² − 20t − 1,5 = 0 | : 5 t² − 4t − 0,3 = 0
t = (4 ± √(16 + 1,2)) : 2 = (4 ± √17,2) : 2, kus √17,2 ≈ 4,1473.
t₁ ≈ (4 + 4,1473) : 2 ≈ 4,07 s t₂ ≈ (4 − 4,1473) : 2 ≈ −0,07 s
Teine lahend jäetakse kõrvale, sest aeg algab väljalaskmise hetkest (t = 0) ja negatiivne aeg tähendaks hetke enne starti - matemaatiliselt on see parabooli teine haru, füüsikaliselt seda katset ei kirjelda.
Maandumine toimub ligikaudu 4,07 sekundit pärast starti. Mudel kehtib vahemikus 0 ≤ t ≤ 4,07; pärast seda pole valemil mõtet, sest rakett on juba maas (valem annaks üha negatiivsema kõrguse).
3. Kontrolli õpilase väidet 15 meetri kohta. Kas kahel ajahetkel olemine tõestab, et andur töötas valesti? Põhjenda.
Read the worked answer
Lahendame võrrandi h(t) = 15: 1,5 + 20t − 5t² = 15 −5t² + 20t − 13,5 = 0 | · (−1) 5t² − 20t + 13,5 = 0 | : 5 t² − 4t + 2,7 = 0
t = (4 ± √(16 − 10,8)) : 2 = (4 ± √5,2) : 2, kus √5,2 ≈ 2,2804.
t₁ ≈ 0,86 s ja t₂ ≈ 3,14 s.
Mõlemad hetked jäävad lennuvahemikku (0 ≤ t ≤ 4,07), seega väide kahest ajahetkest on õige.
Kuid järeldus anduri rikkest on vale: rakett tõuseb 15 meetrini 0,86 s pärast starti ja läbib sama kõrguse uuesti laskudes 3,14 s pärast starti. See on parabooli sümmeetria otsene tagajärg - mõlemad hetked on haripunktist t = 2 võrdsel kaugusel: 2 − 0,86 = 1,14 ja 3,14 − 2 = 1,14. Ükski kõrgus haripunkti all (h < 21,5) esineb lennu jooksul täpselt kaks korda. Ajalehe artiklisse sobib sõnastus: „Andur näitas 15 meetrit kahel korral - tõusul ja laskumisel - ning see kinnitab pigem mudeli õigsust kui selle valeandmelisust.“