Kooli peasissekäigu kaldtee: kas 8% nõue on täidetud?
Kooli peasissekäigu ees on kolm betoonastet, mille kogukõrgus on 48 cm. Kool soovib ehitada ratastooli kaldtee, mis algab sillutiselt ja lõpeb trepi ülaosas. Trepp ise jääb alles ja kaldtee rajatakse selle kõrvale; kaldtee laius on 1,2 meetrit. Kooliõu on piiratud: ukseesise varikatuse ja aia vahele mahub horisontaalselt ainult 5,5 meetrit, kusjuures kaldtee peab algama juba kõnniteelt, et ratastooliga oleks võimalik takistuseta pöörata. Juhend ütleb, et väliskaldtee tõus ei tohi ületada 8% (tõusukõrguse ja horisontaalse pikkuse suhe) ja kaldtee pind peab olema libisemiskindel. Ehitusmeister pakub lahenduse: 5,5 meetri pikkune horisontaalne kaldtee kõrgusega 48 cm. Kooli hoolekogu küsib matemaatikatunnilt hinnangut, kas pakkumine vastab nõudele, ja kui ei, siis kui pikk peab kaldtee olema. Arvesse tuleb võtta ka kaldtee pinna pikkust materjali tellimisel, sest pind on hüpotenuus, mitte horisontaalprojektsioon. Kõik mõõtmised on meetrites ja vastused tuleb esitada mõistliku täpsusega.
1. Arvuta meister pakutud kaldtee tõus protsentides ja otsusta, kas see vastab nõudele 8%. Too ka lihtne kontrollarvutus.
Read the worked answer
Tõus protsentides = (kõrgus : horisontaalne pikkus) · 100%.
0,48 : 5,5 = 0,08727… → ≈ 8,7%, mis on suurem kui lubatud 8%. Pakkumine ei vasta nõudele.
Kontroll teisiti: 8% 5,5 meetrist on 0,08 · 5,5 = 0,44 m. Kuna tegelik kõrgus on 0,48 m, ületab see lubatud kõrgust 4 cm võrra (0,48 − 0,44 = 0,04 m).
Mõlemad vaated annavad sama otsuse: kaldtee on ligikaudu 0,9 protsendipunkti võrra liiga järsk. See on tüüpiline koht, kus ümardamine 8%-ni oleks eksitav - 8,7% ümardub küll „umbes 9-ks“, aga mitte 8-ks, ja nõue on ülempiir, mitte sihtväärtus.
2. Kui pikk peab olema kaldtee horisontaalne osa, et nõue oleks täpselt täidetud? Kui palju materjali kulub kaldtee pinna jaoks, kui laius on 1,2 m? Võrdle olemasoleva 5,5 m ruumiga.
Read the worked answer
Nõue on täidetud võrdusena: 0,48 : L = 0,08 → L = 0,48 : 0,08 = 6,00 m.
Olemas on ainult 5,5 m, seega puudu jääb 0,50 m horisontaalset ruumi. Ilma projekti muutmata 8% nõuet saavutada ei ole.
Kaldtee pind on hüpotenuus: p = √(6,00² + 0,48²) = √(36 + 0,2304) = √36,2304 ≈ 6,0192 → 6,02 m. Materjali pindala: 6,02 · 1,2 ≈ 7,22 m² (tellida tasub väikese varuga, nt 7,5 m²).
Võrdluseks 5,5-meetrise variandi pind: √(30,25 + 0,2304) ≈ 5,52 m; pindala 5,52 · 1,2 ≈ 6,62 m². Vahe on ainult umbes 0,6 m² - materjali kokkuhoid on tühine, seega ei ole mõtet nõude rikkumisega riskida raha pärast. Kuna õue mahub 5,5 m, tuleb lahendada ruumi küsimus: kas langetada sissekäigu kõrgust, teha kaheosaline kaldtee vaheplatvormiga või viia kaldtee hoone teise külge.
3. Arvuta kaldtee kaldenurk kraadides (nii 6,0 m kui ka 5,5 m variandile) ja hinda väidet „8% tõus tähendab 8 kraadi“.
Read the worked answer
Kaldenurk α: tan α = kõrgus : horisontaalne pikkus.
6,0 m variant: tan α = 0,48 : 6,00 = 0,08 → α = arctan 0,08 ≈ 4,57° (≈ 4,6°). 5,5 m variant: tan α = 0,48 : 5,5 = 0,0873 → α ≈ 4,99° (≈ 5,0°).
Väide on vale. Protsent väljendab puutuja (tõus/kõrgus) suhet korrutatuna sajaga, kraad aga nurka ennast - need on eri suurused ja neid ei tohi samastada. Kui tõus oleks 8 kraadi, oleks protsent 100 · tan 8° ≈ 100 · 0,1405 ≈ 14%, mis on ligi kaks korda lubatust järsem. Vahe tuleneb sellest, et väikeste nurkade juures on tan α ≈ α (radiaanides), kuid 8% = 0,08 rad ≈ 4,6°, mitte 8°.
Praktiline järeldus hoolekogule: 8,7% ja 4,99° kõlavad erinevalt, kuid kirjeldavad sama kaldteed - nõuete kontrollimisel tuleb alati kasutada samu ühikuid, milles nõue on sõnastatud.