Magamistundide küsitlus: keskmine, mediaan ja pealkirja lubadus
Tervisenädala raames küsitlesid 9. klassid kõiki oma klassi õpilasi selle kohta, mitu tundi nad eelmisel ööl magasid. 9A-s vastas kõik 25 õpilast: 2 õpilast magas 6 tundi, 5 õpilast 7 tundi, 11 õpilast 8 tundi, 6 õpilast 9 tundi ja 1 õpilane 10 tundi. 9B-s vastas kõik 22 õpilast: 1 õpilane 5 tundi, 3 õpilast 6 tundi, 7 õpilast 7 tundi, 8 õpilast 8 tundi ja 3 õpilast 9 tundi. 9B küsitlus toimus esmaspäeva hommikul pärast kooli sügispidu, 9A oma aga teisipäeva pärastlõunal. Koolilehe toimetaja tahab kirjutada artikli pealkirjaga „Üheksandikud magavad keskmiselt kaheksa tundi“ ja kasutada selle tõestuseks 9A andmeid. Matemaatikaõpetaja palub klassil enne artikli ilmumist andmeid kontrollida, arvutada mõlema klassi keskmine ja mediaan ning hinnata, kas pealkiri on andmetega kooskõlas. Vastused tuleb esitada kahe kümnendkoha täpsusega.
1. Arvuta mõlema klassi keskmine ja mediaan. Kumb klass magas tüüpiliselt kauem ja millist näitajat on siin mõistlikum kasutada?
Read the worked answer
9A (25 õpilast). Summa: 2 · 6 + 5 · 7 + 11 · 8 + 6 · 9 + 1 · 10 = 12 + 35 + 88 + 54 + 10 = 199. Keskmine: 199 : 25 = 7,96 h. Mediaan: 25 väärtuse korral on mediaan 13. järjestatud väärtus; kumulatiivsed sagedused on 2, 7, 18 - 13. väärtus asub rühmas 8 h, seega mediaan = 8,00 h.
9B (22 õpilast). Summa: 1 · 5 + 3 · 6 + 7 · 7 + 8 · 8 + 3 · 9 = 5 + 18 + 49 + 64 + 27 = 163. Keskmine: 163 : 22 = 7,409… ≈ 7,41 h. Mediaan: 22 väärtuse korral on mediaan 11. ja 12. väärtuse keskmine; kumulatiivsed sagedused 1, 4, 11, 19 - 11. väärtus = 7 h ja 12. väärtus = 8 h, seega mediaan = 7,50 h.
Mõlema näitaja järgi magas 9A kauem (7,96 vs 7,41 ja 8,00 vs 7,50). Mediaan on siin veidi usaldusväärsem, sest keskmist mõjutavad üksikud servaväärtused (9A-s 10 h, 9B-s 5 h); mediaan näitab, milline on tüüpiline õpilane. Erand: erinevus ei ole suur ja mõlemad näitajad annavad sama suuna, mis tugevdab järeldust.
2. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud õpilane nende 47 hulgast magas vähemalt 8 tundi? Ja kui suur on tõenäosus, et ta magas vähem kui 7 tundi?
Read the worked answer
Kokku vastajaid: 25 + 22 = 47.
Vähemalt 8 tundi: 9A-s 11 + 6 + 1 = 18 õpilast, 9B-s 8 + 3 = 11 õpilast, kokku 29. P(vähemalt 8 h) = 29 : 47 ≈ 0,6170 → ≈ 0,62 ehk 62%.
Vähem kui 7 tundi (st 5 või 6 h): 9A-s 2 õpilast (6 h), 9B-s 1 + 3 = 4 õpilast, kokku 6. P(vähem kui 7 h) = 6 : 47 ≈ 0,1277 → ≈ 0,13 ehk 13%.
Kontroll loogikaga: 7 tundi magajaid on 5 + 7 = 12, seega 6 + 12 + 29 = 47 - kõik õpilased on arvestatud. Tõenäosused on ligikaudsed, sest valim on väike; täpne murd (29/47) on ausam kui ümardatud protsent, kui lugeja tahab artiklis numberit esitada.
3. Kas pealkiri „Üheksandikud magavad keskmiselt kaheksa tundi“ on andmetega kooskõlas? Anna põhjendatud hinnang ja pakku välja täpsem sõnastus.
Read the worked answer
Osaliselt õige, tervikuna eksitav.
- Arvutuslik pool: 9A keskmine on 7,96 h, mis ümardub kahe kümnendkoha juures 8,0-ni, ja mediaan on täpselt 8,0 h. Üksikklassi kohta on number seega kaitstav, kuid juba ümardamine 7,96 → 8,0 (erinevus 0,04 h ≈ 2,4 min) tuleb lugejale selgitada.
- Üldistus: pealkiri räägib „üheksandikest“, aga andmed on ühe kooli kahest klassist (47 õpilast). See ei ole juhuslik valim, seega ei saa järeldada kõigi Eesti üheksandike kohta.
- Teine klass: 9B keskmine 7,41 h ja mediaan 7,50 h ei toeta väidet kaheksast tunnist - erinevus 9A-ga on ligikaudu pool tundi.
- Metoodika: 9B küsiti esmaspäeva hommikul pärast pidu, 9A-d teisipäeva pärastlõunal. Erinev küsitlusaeg ja erinev öö võivad erinevust osaliselt seletada, seega ei tohiks klasse võrrelda nii, nagu oleks tingimused samad.
Sobivam sõnastus: „9A õpilased magasid küsitluse järgi keskmiselt 8,0 ja mediaanina 8,0 tundi; 9B õpilased vastavalt 7,4 ja 7,5 tundi. Kooli mõlema üheksanda klassi õpilased magasid keskmiselt umbes 7,7 tundi.“ Nii on näha, millistest andmetest number pärineb ja millist näitajat kasutati.