Placa hexagonal: ancho de tira y error de cierre
En el taller se debe cortar una placa hexagonal regular de 60 mm entre caras paralelas para un soporte de sensor; llevará un taladro centrado de Ø16 mm. Se dispone de una tira de aluminio de 65 mm de ancho y 240 mm de largo. Un alumno propone trazar la circunferencia circunscrita con el compás y recorrer el perímetro dando seis pasos con la misma abertura, sin calcular previamente el lado. El profesor sospecha que la tira es demasiado justa y que el método de pasos acumula error de cierre. Antes de cortar hay que decidir si el material sirve, fijar la construcción correcta y estimar la desviación si en cada paso se comete un error de 0,10 mm en la cuerda. No se permite mecanizado posterior del contorno; solo taladrado. El croquis de taller no está a escala y no se puede medir sobre él.
1. Calcula el lado, el radio circunscrito y la distancia entre vértices opuestos. Decide si la tira de 65 mm es suficiente y si el taladro de Ø16 mm deja pared suficiente.
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Para un hexágono regular, la distancia entre caras es F=2a=s√3 y el radio circunscrito coincide con el lado, R=s. Con F=60 mm: s=60/√3=34,641 mm; R=34,641 mm; distancia entre vértices opuestos=2R=69,282 mm.
La tira tiene 65 mm de ancho y 240 mm de largo. Si se orienta con dos caras paralelas a la longitud de la tira, el ancho necesario es F=60 mm (quedan 2,5 mm por lado) y la longitud necesaria es 69,282 mm; por tanto la tira sí sirve en esa orientación. Si se orienta con dos vértices en el ancho, necesitaría 69,282 mm y no cabría.
El taladro Ø16 deja un espesor mínimo hasta la cara plana de 30−8=22 mm, suficiente. Decisión: válida solo con caras paralelas al borde largo.
2. Estima el error de cierre si cada cuerda se traza 0,10 mm más larga que el lado teórico. ¿Es aceptable el método de los seis pasos?
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Si el compás se abre al lado teórico s=R y cada cuerda sale 0,10 mm larga, el ángulo central real es θ=2 asin((s+0,10)/(2R)). Derivando la cuerda c=2R sin(θ/2) en θ=60°: dc/dθ=R cos30°=34,641×0,866=30,0 mm/rad. Así, Δθ≈0,10/30=0,00333 rad=0,191° por paso.
En seis pasos el error angular acumulado es 1,146°=0,0200 rad, y el cierre se separa RΔθ≈34,641×0,0200=0,69 mm. Es un error menor que el margen de 2,5 mm, pero afecta a la forma y al cierre del polígono; forzar el cierre deforma los lados. No es aceptable sin control: conviene construir el hexágono por rectas auxiliares o calcular el lado antes de abrir el compás.
3. Propón una secuencia de trazado robusta sobre la tira, indicando qué rectas auxiliares fijan el hexágono y cómo se controla el cierre.
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Secuencia robusta: dibujar el eje longitudinal de la tira y la perpendicular por el centro. Con el centro O, trazar dos paralelas a la longitud separadas 60 mm (y=±30 mm) y dos verticales en x=±R/2=±17,321 mm; sus intersecciones con las paralelas dan cuatro vértices. Sobre el eje longitudinal, marcar los dos vértices restantes en x=±R=±34,641 mm. Unir en orden y comprobar que los seis lados miden lo mismo y que las diagonales mayores miden 69,282 mm.
Así no se encadena el compás seis veces: el cierre queda impuesto por rectas y por dos simetrías. El taladro se marca desde O y se comprueba la distancia a las caras planas, 22 mm.