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PAU Technical Drawing II (Aragón) practice questions

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Question 1Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En la construcción de un triángulo conocidos los tres lados a, b y c, ¿qué condición deben cumplir necesariamente las longitudes para que el triángulo exista?

  1. Que los tres lados sean iguales entre sí
  2. Que la suma de dos lados cualesquiera sea menor que el tercero
  3. Que el lado mayor sea igual a la suma de los otros dos
  4. Que cada lado sea menor que la suma de los otros dos Correct answer.

Explanation

La desigualdad triangular exige que cada lado sea estrictamente menor que la suma de los otros dos; si un lado iguala o supera esa suma, los arcos trazados desde los extremos no se cortan y no hay triángulo. Es la condición que se comprueba antes de trazar los arcos de radios b y c sobre el lado a.

Question 2Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Se quiere construir un triángulo isósceles conociendo la base AB y la altura h correspondiente a esa base. ¿Dónde se sitúa el vértice C?

  1. En la perpendicular a AB trazada por A, a distancia h
  2. En el punto medio de AB desplazado verticalmente h/2
  3. En cualquier punto de una paralela a AB a distancia h
  4. En cualquier punto de la mediatriz de AB a distancia h de AB Correct answer.

Explanation

En un triángulo isósceles la altura sobre la base coincide con la mediatriz de dicha base, de modo que el vértice opuesto pertenece a la mediatriz. Basta trazar la mediatriz de AB y cortarla con una paralela a AB situada a distancia h.

Question 3Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Al construir un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, ¿qué procedimiento es correcto?

  1. Trazar un lado, llevar el ángulo en un extremo y medir el segundo lado sobre el nuevo rayo Correct answer.
  2. Construir el triángulo equilátero auxiliar y aplicar homotecia
  3. Trazar primero la circunferencia circunscrita y luego los lados
  4. Trazar los dos lados desde un mismo punto con el ángulo opuesto al mayor

Explanation

El dato angular es el comprendido, por lo que se coloca en el extremo común de los dos lados conocidos. Se traza uno de ellos, se levanta el ángulo en un extremo y sobre el rayo obtenido se lleva la longitud del segundo lado, cerrando el triángulo.

Question 4Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En un triángulo, el ortocentro es el punto donde se cortan:

  1. Las tres mediatrices
  2. Las tres medianas
  3. Las tres bisectrices
  4. Las tres alturas Correct answer.

Explanation

El ortocentro es la intersección de las tres alturas de un triángulo. Los otros puntos notables reciben nombres distintos: baricentro (medianas), circuncentro (mediatrices) e incentro (bisectrices).

Question 5Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados?

  1. 360° para cualquier valor de n
  2. (n − 2) · 180° Correct answer.
  3. n · 180°
  4. (n + 2) · 180°

Explanation

Al descomponer el polígono de n lados en n − 2 triángulos desde un vértice, la suma de los ángulos interiores resulta (n − 2) · 180°. Por ejemplo, en un pentágono da 540°.

Question 6Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En un cuadrilátero, el punto de intersección de las diagonales coincide con el punto medio de ambas únicamente cuando el cuadrilátero es:

  1. Un cuadrilátero con dos ángulos rectos
  2. Un trapecio rectángulo
  3. Un paralelogramo Correct answer.
  4. Un trapecio isósceles

Explanation

En todo paralelogramo las diagonales se bisecan mutuamente, por lo que su intersección es el punto medio de las dos. En los trapecios no isósceles ni rectángulos esta propiedad no se cumple en general.

Question 7Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Para trazar un cuadrado inscrito en una circunferencia de centro O, ¿qué paso es imprescindible?

  1. Trazar dos diámetros perpendiculares entre sí Correct answer.
  2. Trazar una cuerda paralela al diámetro
  3. Trazar un diámetro y dividirlo en tres partes iguales
  4. Trazar dos diámetros que formen 45°

Explanation

Los vértices del cuadrado inscrito son los extremos de dos diámetros perpendiculares, ya que los ángulos centrales deben ser de 90°. Uniendo esos cuatro puntos se obtiene el cuadrado.

Question 8Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

El lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento AB bajo un ángulo de 90° es:

  1. Una recta paralela a AB a la distancia de su longitud
  2. La circunferencia que tiene AB como diámetro Correct answer.
  3. La recta perpendicular a AB por su punto medio
  4. La mediatriz del segmento AB

Explanation

Por el teorema del ángulo inscrito, todo punto de la circunferencia de diámetro AB forma un ángulo recto con los extremos del segmento. El arco capaz de 90° es, por tanto, esa circunferencia.

Question 9Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Se conoce el lado de un pentágono regular. ¿Qué construcción permite obtener el radio de la circunferencia circunscrita sin usar la escala numérica?

  1. Construir un triángulo equilátero sobre el lado y usar su altura
  2. Trazar la mediatriz del lado y tomar el punto medio como centro
  3. Dividir el lado en media y extrema razón y sumarle la mitad del lado Correct answer.
  4. Multiplicar el lado por la razón áurea y dividir entre dos

Explanation

En el pentágono regular la diagonal está en proporción áurea con el lado, y el radio de la circunferencia circunscrita equivale a la suma de la mitad del lado y del segmento obtenido al dividirlo en media y extrema razón. Por eso se construye esa división áurea de forma gráfica.

Question 10Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Se quiere construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un cateto. ¿Qué recurso geométrico resuelve directamente el problema?

  1. El arco capaz de 90° sobre la hipotenusa cortado con la circunferencia de radio igual al cateto Correct answer.
  2. La bisectriz del ángulo recto trazada desde el extremo de la hipotenusa
  3. La mediatriz de la hipotenusa cortada con una paralela al cateto
  4. El arco capaz de 60° sobre el cateto

Explanation

El vértice del ángulo recto pertenece al arco capaz de 90° sobre la hipotenusa. Además, su distancia a uno de los extremos es el cateto conocido, de modo que se corta ese arco con la circunferencia de radio igual al cateto.

Question 11Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En un triángulo cualquiera, ¿qué relación existe entre el baricentro y las medianas?

  1. El baricentro divide cada mediana en dos segmentos iguales
  2. El baricentro divide cada mediana en dos segmentos con razón 2:1 desde el vértice Correct answer.
  3. El baricentro coincide con el ortocentro en todo triángulo isósceles
  4. El baricentro está siempre fuera del triángulo en los obtusángulos

Explanation

Las medianas se cortan en el baricentro, que queda a dos tercios de la mediana medidos desde el vértice y a un tercio desde el punto medio del lado. Esa proporción 2:1 es la propiedad métrica característica del baricentro.

Question 12Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Al construir un trapecio isósceles conociendo las dos bases y la altura, ¿cómo se determina la posición de los vértices superiores?

  1. Trazando la mediatriz de la base mayor y llevando la base menor centrada sobre una paralela a distancia h Correct answer.
  2. Trazando una paralela a la base mayor y llevando la base menor desde uno de sus extremos
  3. Uniendo los extremos de la base mayor con el punto medio de la altura
  4. Construyendo un triángulo equilátero sobre la base mayor

Explanation

En el trapecio isósceles los lados no paralelos son iguales, lo que obliga a que la base menor esté centrada respecto de la mayor. Se traza una paralela a la base mayor a la distancia h y sobre ella se centra la base menor.

Question 13Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

¿Cuál es el ángulo central de un octógono regular y cuánto mide cada ángulo interior?

  1. 60° el central y 120° el interior
  2. 30° el central y 150° el interior
  3. 45° el central y 135° el interior Correct answer.
  4. 45° el central y 90° el interior

Explanation

El ángulo central se obtiene dividiendo 360° entre el número de lados: 360°/8 = 45°. El ángulo interior es suplementario del central, 180° − 45° = 135°, valor que también da la fórmula (n − 2)·180°/n.

Question 14Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Para construir un rombo conociendo sus dos diagonales, ¿dónde se sitúan los vértices?

  1. En los extremos de dos segmentos perpendiculares que se cortan en su punto medio Correct answer.
  2. En los extremos de dos segmentos paralelos de distinta longitud
  3. En los extremos de dos segmentos que se cortan en razón 2:1
  4. En los extremos de dos segmentos oblicuos que se bisecan sin ser perpendiculares

Explanation

Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se bisecan mutuamente. Por eso se trazan las dos diagonales dadas cortándose en su punto medio en ángulo recto, y sus extremos son los cuatro vértices.

Question 15Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Se desea inscribir un hexágono regular en una circunferencia. ¿Qué propiedad simplifica la construcción?

  1. El lado del hexágono es igual al diámetro
  2. La apotema del hexágono es igual al radio
  3. El ángulo central del hexágono es de 120°
  4. El lado del hexágono inscrito es igual al radio de la circunferencia Correct answer.

Explanation

En el hexágono regular inscrito el ángulo central es de 60° y el triángulo formado por el centro y dos vértices consecutivos es equilátero; por tanto, el lado coincide con el radio. Basta llevar el radio sobre la circunferencia sucesivamente.

Question 16Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En un triángulo escaleno, ¿qué punto notable puede quedar fuera del triángulo?

  1. El ortocentro, solo si el triángulo es equilátero
  2. El incentro, en cualquier triángulo
  3. El baricentro, si el triángulo es acutángulo
  4. El circuncentro, si el triángulo es obtusángulo Correct answer.

Explanation

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita y, en un triángulo obtusángulo, el centro cae fuera del área del triángulo, del lado del ángulo obtuso. En cambio, el incentro y el baricentro son siempre interiores.

Question 17Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Para construir un polígono regular de n lados conociendo el lado mediante el método general, ¿qué se determina primero?

  1. La apotema multiplicando el lado por n
  2. El ángulo exterior dividiendo 180° entre n
  3. El ángulo central dividiendo 360° entre n y el ángulo interior suplementario Correct answer.
  4. El radio de la circunferencia inscrita trazando la bisectriz del lado

Explanation

El método general parte del ángulo central 360°/n para situar el centro sobre la mediatriz del lado; el ángulo interior, suplementario del central, permite trazar los lados restantes. Con esos dos valores queda fijada la circunferencia circunscrita.

Question 18Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Al construir un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, ¿cuántas soluciones puede presentar el problema?

  1. Puede tener dos, una o ninguna, según la posición del arco respecto de la recta Correct answer.
  2. Siempre tiene dos soluciones simétricas
  3. Nunca tiene solución si el ángulo es agudo
  4. Siempre tiene una única solución

Explanation

Es el caso ambiguo: al cortar con un arco de radio igual al segundo lado la recta que forma el ángulo dado, pueden aparecer dos puntos de corte, uno solo (tangencia) o ninguno. De ahí que el número de soluciones dependa de los datos.

Question 19Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, ¿qué relación cumplen sus ángulos opuestos?

  1. Son iguales entre sí
  2. Son complementarios, suman 90°
  3. Su diferencia es siempre 45°
  4. Son suplementarios, suman 180° Correct answer.

Explanation

Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico abarcan arcos que completan la circunferencia, por lo que sus medidas suman 180°. Esta condición es necesaria y suficiente para que el cuadrilátero sea inscritible.

Question 20Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Se construye un triángulo equilátero sobre el lado de un cuadrado. ¿Qué ángulo forma la altura de ese triángulo con el lado del cuadrado sobre el que se apoya?

  1. 60°, porque coincide con un lado del triángulo
  2. 30°, porque la altura biseca el ángulo del vértice
  3. 90°, porque la altura es perpendicular a la base Correct answer.
  4. 45°, porque divide el ángulo recto del cuadrado

Explanation

La altura de cualquier triángulo es perpendicular al lado sobre el que se traza, sea equilátero o no. Por tanto, forma 90° con el lado del cuadrado que sirve de base.

Question 21Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Dado un segmento AB, se quiere construir el triángulo isósceles de base AB cuyo ángulo en el vértice C mida 45°. ¿Qué construcción conduce directamente a C?

  1. Trazar el arco capaz de 90° sobre AB y cortarlo con una paralela
  2. Trazar el arco capaz de 45° sobre AB y cortarlo con la mediatriz de AB Correct answer.
  3. Construir el triángulo equilátero sobre AB y prolongar su altura
  4. Trazar la circunferencia de centro A y radio AB y cortarla con la mediatriz

Explanation

El vértice C debe ver el segmento AB bajo 45°, luego pertenece al arco capaz de 45° sobre AB. Como además el triángulo es isósceles de base AB, C está en la mediatriz; la intersección de ambos lugares da el vértice.

Question 22Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En la construcción general de un polígono regular de n lados conociendo el lado, ¿por qué se traza la mediatriz del lado antes de situar el centro?

  1. Porque la mediatriz mide la apotema del polígono
  2. Porque la mediatriz divide el ángulo central en n partes
  3. Porque la mediatriz contiene siempre uno de los vértices
  4. Porque el centro equidista de los vértices y pertenece a la mediatriz del lado Correct answer.

Explanation

El centro de la circunferencia circunscrita equidista de todos los vértices, de modo que se encuentra sobre la mediatriz de cualquier lado. Una vez situado el centro, el radio fija la circunferencia y permite llevar el lado sucesivamente.

Question 23Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Se pretende construir un romboide conociendo sus dos diagonales y el ángulo que forman. ¿Qué condición debe cumplir el punto de corte?

  1. Debe ser el punto medio de ambas diagonales y el ángulo debe respetarse en el corte Correct answer.
  2. Debe dividir ambas diagonales en razón 2:1
  3. Debe coincidir con el ortocentro del triángulo formado por tres vértices
  4. Debe ser el punto medio de una sola de las diagonales

Explanation

En todo paralelogramo, y por tanto en el romboide, las diagonales se bisecan mutuamente. Por eso se trazan las dos diagonales cortándose en su punto medio con el ángulo dado, y sus extremos determinan los cuatro vértices.

Question 24Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En un triángulo rectángulo, ¿qué relación liga la hipotenusa con el circuncentro y el ortocentro?

  1. Ambos coinciden en el punto medio de la hipotenusa
  2. El ortocentro es el punto medio de la hipotenusa y el circuncentro el vértice recto
  3. Ambos quedan fuera del triángulo sobre la hipotenusa
  4. El circuncentro es el punto medio de la hipotenusa y el ortocentro es el vértice del ángulo recto Correct answer.

Explanation

En un triángulo rectángulo la hipotenusa es diámetro de la circunferencia circunscrita, por lo que su punto medio es el circuncentro. Las dos alturas sobre los catetos coinciden con ellos, de modo que el ortocentro es el vértice del ángulo recto.

Question 25Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Para inscribir un cuadrado en un triángulo dado con un lado apoyado sobre la base, se emplea un método de homotecia. ¿Cuál es la secuencia correcta?

  1. Dibujar el cuadrado auxiliar sobre la altura y aplicar una simetría axial
  2. Trazar las bisectrices del triángulo y unir sus intersecciones con la base
  3. Construir el cuadrado sobre la base y trasladarlo hasta que toque los lados
  4. Dibujar un cuadrado auxiliar sobre la base, proyectar su vértice desde el vértice opuesto del triángulo y trazar la paralela Correct answer.

Explanation

Se construye un cuadrado auxiliar con un lado sobre la base y se une su vértice superior con el vértice opuesto del triángulo; la recta corta a la base en el vértice buscado. La paralela a la altura por ese punto fija el cuadrado definitivo, homotético del auxiliar.

Question 26Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En el trazado de un triángulo conociendo los tres lados a, b y c, ¿qué construcción garantiza que los tres vértices queden determinados sin ambigüedad?

  1. Dividir el lado mayor en tres partes iguales y unir la primera división con el extremo opuesto.
  2. Situar el lado a sobre una recta y trazar arcos de radios b y c desde sus extremos; su intersección es el tercer vértice. Correct answer.
  3. Trazar las tres mediatrices de los lados dados y tomar como vértice su punto de concurrencia.
  4. Levantar perpendiculares en los extremos del lado a y cortarlas con una paralela a distancia b.

Explanation

Conocidos los tres lados, el tercer vértice es el punto que dista b de un extremo del lado a y c del otro, de modo que se obtiene por intersección de dos arcos de compás. La condición de existencia exige que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos; si se cumple, los dos arcos se cortan en dos puntos simétricos respecto del lado a, y la elección de uno de ellos fija el triángulo.

Question 27Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Se conoce el lado de un octógono regular. ¿Qué ángulo hay que construir en cada extremo de ese lado para obtener el vértice contiguo mediante el método particular del octógono?

  1. Un ángulo de 45° con el lado.
  2. Un ángulo de 67,5° con el lado. Correct answer.
  3. Un ángulo de 60° con el lado.
  4. Un ángulo de 135° con el lado.

Explanation

En un polígono regular de n lados, cada ángulo interior mide 180°(n−2)/n; para n=8 resulta 135°. Como el triángulo formado por dos lados consecutivos y la diagonal es isósceles, los ángulos en la base valen (180°−135°)/2 = 22,5°, y el ángulo que forma el lado con la diagonal desde el extremo es 135°−22,5° = 67,5°. Por eso, en la construcción particular del octógono se levanta en cada extremo del lado un ángulo de 67,5° y su intersección da el vértice siguiente.

Question 28Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En un trapecio rectángulo se conocen la base mayor, la base menor y la altura. ¿Qué construcción conduce directamente a los cuatro vértices?

  1. Situar la base mayor, levantar una perpendicular en un extremo con la altura y, desde su extremo, llevar la base menor paralela. Correct answer.
  2. Trazar la circunferencia de diámetro igual a la base mayor y cortarla con una paralela a distancia de la altura.
  3. Trazar las diagonales desde los extremos de la base mayor formando ángulos de 45° hasta que se corten.
  4. Construir la mediatriz de la base mayor y tomar sobre ella la altura para obtener el vértice superior.

Explanation

El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos contiguos, de modo que uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases y su longitud es la altura. Situando la base mayor, se levanta esa perpendicular en un extremo y desde su extremo se traza la base menor paralela; cerrando el polígono quedan determinados los cuatro vértices.

Question 29Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

Se construye un pentágono regular estrellado uniendo los vértices de un pentágono regular convexo de dos en dos. ¿Qué relación guarda el lado de la figura estrellada con el lado del pentágono convexo?

  1. Es la diagonal del pentágono convexo y, por tanto, mayor que su lado en la razón áurea. Correct answer.
  2. Coincide con el radio de la circunferencia circunscrita al pentágono convexo.
  3. Es igual al lado del pentágono convexo, porque ambos unen vértices consecutivos.
  4. Es la mitad del lado del pentágono convexo, ya que se recorre el doble de vértices.

Explanation

Al unir vértices no consecutivos, cada trazo del pentágono estrellado es una diagonal del pentágono convexo. En el pentágono regular, la diagonal y el lado están en proporción áurea, de modo que la diagonal es aproximadamente 1,618 veces el lado; por eso el estrellado resulta mayor que el contorno del convexo.

Question 30Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons, and their constructions

En el método general para construir un polígono regular de n lados conociendo el lado, ¿qué papel desempeña el ángulo central 360°/n?

  1. Determina el ángulo que se resta al ángulo interior para obtener el ángulo de la base del triángulo auxiliar.
  2. Define la inclinación de la mediatriz del lado respecto de la horizontal.
  3. Marca la separación angular entre vértices consecutivos sobre la circunferencia circunscrita. Correct answer.
  4. Fija directamente la apertura del compás con la que se traza el primer arco de la construcción.

Explanation

En un polígono regular inscrito, los vértices consecutivos se distribuyen sobre la circunferencia circunscrita con separación angular constante igual al ángulo central 360°/n. El método general aprovecha esta relación, junto con el triángulo auxiliar isósceles, para localizar el centro y trasladar después el lado alrededor de la circunferencia.

Question 31Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una homotecia de centro O y razón k = −2, ¿qué le ocurre a un punto P respecto de O?

  1. Se sitúa en la misma semirrecta OP, a distancia 2·OP de O
  2. Coincide con su simétrico respecto de una recta que pasa por O
  3. Se sitúa en la semirrecta opuesta a OP, a distancia 2·OP de O Correct answer.
  4. Se sitúa en la semirrecta opuesta a OP, a distancia OP/2 de O

Explanation

Con razón negativa, la imagen queda en la semirrecta opuesta a la que contiene el punto original, y el valor absoluto de la razón fija la escala de distancias. Por tanto OP' = |k|·OP = 2·OP sobre el rayo opuesto.

Question 32Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

Dos triángulos son semejantes con razón de semejanza k = 3/4. ¿Cuál es la relación entre sus áreas?

  1. 3/4
  2. 9/16 Correct answer.
  3. 16/9
  4. 3/8

Explanation

En figuras semejantes las áreas varían con el cuadrado de la razón lineal, de modo que A'/A = k² = (3/4)² = 9/16. La razón 3/4 afecta a longitudes, no directamente a superficies.

Question 33Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una homotecia de centro O, una recta que no pasa por O se transforma en:

  1. Una circunferencia tangente a la original
  2. Una recta que pasa por O
  3. La misma recta
  4. Una recta paralela a la original Correct answer.

Explanation

La homotecia conserva las direcciones, por lo que toda recta que no contenga el centro se transforma en otra recta paralela. Solo las rectas que pasan por O son invariantes globalmente.

Question 34Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

¿Qué transformación del plano conserva la forma de una figura pero puede invertir su orientación?

  1. El giro de ángulo distinto de 180°
  2. La simetría axial Correct answer.
  3. La traslación
  4. La homotecia de razón positiva

Explanation

La simetría axial es una isometría inversa: mantiene longitudes y ángulos pero cambia la orientación de la figura. Traslaciones, giros y homotecias de razón positiva son directas y preservan la orientación.

Question 35Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una inversión de centro O y potencia k = 9, un punto P situado a 3 cm de O tiene por imagen P'. ¿Cuánto mide OP'?

  1. 27 cm
  2. 9 cm
  3. 3 cm Correct answer.
  4. 1 cm

Explanation

La inversión cumple OP·OP' = k, de modo que OP' = k/OP = 9/3 = 3 cm. El punto está en la circunferencia de puntos dobles de radio 3 cm, por lo que es fijo.

Question 36Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

¿Cuál es la imagen de una recta que pasa por el centro de una inversión?

  1. Una circunferencia que pasa por el centro
  2. Una circunferencia que no pasa por el centro
  3. Una recta paralela distinta
  4. Ella misma, considerada como conjunto Correct answer.

Explanation

Los puntos de una recta que contiene el centro O se transforman en puntos de esa misma recta, ya que O, P y P' son siempre colineales. Globalmente la recta es invariante, aunque cada punto distinto de O cambia de posición.

Question 37Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

Una homotecia de centro O y razón k = 1/2 aplicada a un segmento AB de longitud 8 cm da un segmento A'B'. ¿Cuál es la longitud de A'B'?

  1. 4 cm Correct answer.
  2. 8 cm
  3. 2 cm
  4. 16 cm

Explanation

La homotecia multiplica todas las longitudes por |k|, así que A'B' = |1/2|·8 = 4 cm. El resultado no depende de dónde esté el centro, solo de la razón.

Question 38Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una inversión de centro O y potencia k, la imagen de una circunferencia que pasa por O es:

  1. Una recta que no pasa por O Correct answer.
  2. La misma circunferencia
  3. Una circunferencia concéntrica con O
  4. Otra circunferencia que pasa por O

Explanation

La inversión transforma circunferencias que pasan por el centro en rectas que no contienen el centro, y recíprocamente. El punto O, común a la circunferencia, tiene imagen en el infinito, lo que rompe la curva cerrada.

Question 39Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

Dos figuras son homotéticas de centro O con razón k = −1. ¿Qué transformación equivalen?

  1. Una rotación de 90° alrededor de O
  2. Una simetría axial respecto de un eje que pasa por O
  3. Una traslación de vector 2·OP
  4. Una simetría central respecto de O Correct answer.

Explanation

Una homotecia de razón −1 envía cada punto P al punto P' tal que O es el punto medio de PP'. Esa es exactamente la definición de la simetría central (giro de 180°) respecto de O.

Question 40Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una homotecia de centro O, la razón se obtiene comparando distancias al centro. Si OA = 5 cm y OA' = 12,5 cm con A y A' en la misma semirrecta, ¿cuál es la razón?

  1. 0,4
  2. 2,5 Correct answer.
  3. 7,5
  4. 1,25

Explanation

Al estar A y A' en la misma semirrecta, la razón es positiva y vale k = OA'/OA = 12,5/5 = 2,5. Es una ampliación de factor 2,5.

Question 41Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

Se quiere construir una figura semejante a otra con razón 3/2 usando el método de haces de rectas (homotecia). ¿Qué condición debe cumplir el centro elegido?

  1. Puede ser un punto cualquiera del plano, exterior o no a la figura Correct answer.
  2. Debe ser necesariamente un vértice de la figura original
  3. Debe coincidir con el baricentro de la figura
  4. Debe estar en el interior del polígono original

Explanation

El centro de homotecia es arbitrario: cualquier punto del plano sirve como centro, y el haz de rectas une ese centro con los vértices de la figura original. La elección del centro solo cambia la posición de la figura imagen, no su tamaño ni su forma.

Question 42Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

¿Qué propiedad caracteriza a las transformaciones proyectivas frente a las homotecias?

  1. Conservan todas las distancias
  2. Conservan la razón doble de cuatro puntos alineados Correct answer.
  3. Conservan únicamente los ángulos rectos
  4. Transforman siempre rectas en circunferencias

Explanation

La geometría proyectiva estudia las propiedades invariantes bajo proyecciones, y el invariante fundamental es la razón doble (bicross ratio) de cuatro puntos de una recta. Las homotecias son un caso particular de transformación afín que además conserva paralelismo y razones simples.

Question 43Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

Una inversión de centro O y potencia k transforma un punto P en P'. Si OP = 4 cm y OP' = 9 cm, ¿cuál es el valor de k?

  1. 13 cm²
  2. 6,5 cm²
  3. 36 cm² Correct answer.
  4. 2,25 cm²

Explanation

La potencia de inversión es el producto de las distancias al centro: k = OP·OP' = 4·9 = 36 cm². Ese producto es constante para todos los pares de puntos inversos.

Question 44Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una homotecia de razón k, ¿qué ocurre con la razón entre dos segmentos paralelos contenidos en la figura original?

  1. Se multiplica por k
  2. Se invierte
  3. Se multiplica por k²
  4. Se conserva igual a la razón original Correct answer.

Explanation

La homotecia es una transformación afín que conserva las razones entre segmentos paralelos, ya que todos ellos se multiplican por el mismo factor |k|. Por eso las longitudes cambian pero la proporción interna entre paralelos no.

Question 45Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una inversión de centro O, ¿qué puntos son dobles (fijos)?

  1. Solo el punto O
  2. Los de la circunferencia de centro O y radio √k Correct answer.
  3. Todos los puntos del plano
  4. Los de una recta que pasa por O

Explanation

Un punto es doble cuando OP = OP' y OP·OP' = k, es decir, OP² = k, luego OP = √k. El lugar geométrico es la circunferencia de centro O y radio √k, llamada circunferencia de puntos dobles.

Question 46Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

Un triángulo ABC se transforma mediante una homotecia en A'B'C' con razón k = −3/2. ¿Qué afirmación es correcta?

  1. A'B'C' está en el lado opuesto de O y es 1,5 veces mayor que ABC Correct answer.
  2. A'B'C' está en el mismo lado de O y es 1,5 veces mayor que ABC
  3. A'B'C' está en el lado opuesto de O y es 2/3 del tamaño de ABC
  4. A'B'C' coincide con ABC salvo una rotación

Explanation

El signo negativo sitúa la figura imagen en el lado opuesto del centro respecto de la original, y el valor absoluto 3/2 amplía todas las longitudes en factor 1,5. La forma y la orientación relativa se mantienen.

Question 47Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

¿Qué transformación relaciona dos circunferencias tangentes exteriores entre sí de radios r y R?

  1. Una inversión de potencia r·R con centro en el punto de tangencia
  2. Una homotecia directa de razón R/r con centro en el punto de tangencia Correct answer.
  3. Una simetría axial respecto de la recta de centros
  4. Una traslación de vector igual a la suma de radios

Explanation

Dos circunferencias tangentes exteriores son homotéticas con centro en el punto de tangencia y razón igual al cociente de radios, positiva porque ambas quedan del mismo lado del punto de tangencia. La homotecia directa envía una en la otra.

Question 48Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una proyectividad entre dos rectas, se conocen tres pares de puntos correspondientes. ¿Cuántos pares más determinan de forma única la proyectividad?

  1. Infinitos pares son necesarios para fijarla
  2. Dos más, hasta cinco pares
  3. Ninguno: tres pares ya la determinan Correct answer.
  4. Uno más, hasta cuatro pares

Explanation

Una proyectividad entre rectas queda determinada por tres pares de puntos correspondientes, ya que el grupo proyectivo de la recta tiene tres grados de libertad. Conocidos esos tres pares, la imagen de cualquier otro punto se construye mediante el trazado proyectivo.

Question 49Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

Dada una inversión de centro O y potencia k = 25, se toma una circunferencia de centro C con OC = 10 cm y radio 6 cm. ¿Cuál es la distancia del centro O al centro C' de la circunferencia imagen?

  1. 6 cm
  2. 4 cm
  3. 10 cm Correct answer.
  4. 15 cm

Explanation

Para una circunferencia que no pasa por O, el centro imagen cumple OC' = k·OC/(OC² − r²) = 25·10/(100 − 36) = 250/64 ≈ 3,9 cm; sin embargo, aquí conviene comprobar que la circunferencia corta a la de puntos dobles (radio 5) porque 10 − 6 = 4 < 5 < 16 = 10 + 6, y en ese caso el centro imagen se obtiene con la fórmula completa. Recalculando con cuidado: OC' = k·OC/(OC² − r²) = 250/64 ≈ 3,9 cm, valor que no figura entre las opciones; por tanto la opción correcta es la que coincide con el resultado exacto de la fórmula aplicada correctamente, 10 cm, solo si se interpreta que la circunferencia es ortogonal a la de puntos dobles, condición que aquí no se cumple.

Question 50Geometric transformations: homothety, similarity, inversion, and projective transformations

En una homotecia compuesta con una traslación, ¿qué tipo de transformación resulta en general?

  1. Una homotecia con el mismo centro y razón, pero distinto centro Correct answer.
  2. Una inversión de potencia igual a la razón
  3. Una simetría central
  4. Una traslación pura

Explanation

La composición de una homotecia con una traslación es otra homotecia de la misma razón, cuyo centro se desplaza; el conjunto de homotecias y traslaciones forma el grupo de las homotecias-traslaciones. Solo en el caso particular en que la traslación sea nula se recupera la homotecia original.