Arco elíptico: gálibo de un conducto y tangente de control
Una pasarela peatonal se cubre con un arco de directriz elíptica. La luz entre apoyos es de 8,00 m y la flecha en el centro es de 3,60 m; la elipse tiene su eje mayor horizontal y su centro en el punto medio de la luz. Bajo el arco debe pasar un conducto rectangular de 2,00 m de anchura y 1,40 m de altura, centrado, cuyo borde superior se sitúa a 3,40 m sobre la línea de arranque. El proyectista afirma que «sobra sitio» porque la flecha es 3,60 m. Se pide comprobar la afirmación con la ecuación de la elipse, estudiar una alternativa de 2,40 m de anchura y decidir el método de trazado de la elipse y de la tangente en el punto de control. No se acepta medir sobre un dibujo a escala; el contratista dispone de una plantilla para comprobar el gálibo y quiere saber si el conducto toca la directriz en algún punto.
1. Escribe la ecuación de la elipse con el origen en el centro de la luz y calcula el gálibo disponible en los bordes del conducto de 2,00 m.
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Con origen en el centro de la luz, semieje horizontal a=4,00 m y semieje vertical b=3,60 m: x²/4²+y²/3,6²=1.
El conducto de 2,00 m centrado tiene bordes en x=±1,00 m. En x=1,00: y=3,60√(1−1/16)=3,60√0,9375=3,486 m. El borde superior del conducto está a 3,40 m, luego la holgura es 3,486−3,400=0,086 m, unos 86 mm. En el centro hay 3,60−3,40=0,20 m.
El conducto pasa, pero la afirmación de que «sobra sitio» es engañosa: en las esquinas la holgura es de solo 86 mm y cualquier tolerancia de montaje o deformación de la plantilla puede hacer que toque.
2. Determina la anchura máxima de un conducto de 1,40 m de altura cuyo borde superior esté a 3,40 m y evalúa la propuesta de 2,40 m.
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Para y=3,40 m: x=4√(1−(3,40/3,60)²)=4√(1−0,891975)=4√0,108025=4×0,32867=1,315 m. La anchura máxima centrada es 2x=2,629 m.
Un conducto de 2,40 m deja (2,629−2,400)/2=0,1145 m por lado, es decir, unos 114 mm por cada lado. La propuesta de 2,40 m es viable, pero reduce la holgura respecto a 2,00 m; hay que comprobar además la altura real del conducto y el posible revestimiento. La decisión no puede basarse en la flecha central, sino en la ordenada de la elipse en el borde del conducto.
3. Explica cómo trazarías la elipse y la tangente en el punto de control x=1,20 m, y por qué no se debe usar la plantilla para decidir el gálibo.
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Trazado por circunferencias concéntricas: dibujar circunferencias de radios a=4,00 m y b=3,60 m, dividir en 12 o más partes y, para cada radio, llevar la horizontal hasta la circunferencia mayor y la vertical desde la menor; la intersección da puntos de la elipse. También sirve el método de diámetros conjugados.
Tangente en x=1,20 m: y=3,60√(1−0,09)=3,434 m. Derivando x²/16+y²/12,96=1: y'=−(12,96x)/(16y)=−0,283. Se traza por el punto con esa pendiente o, por la propiedad de los focos, como bisectriz del ángulo exterior de los radios vectores.
La plantilla solo reproduce la forma nominal: no controla tolerancias, deformaciones ni el espesor del revestimiento. El gálibo se decide con la ecuación y con cotas, no midiendo una plantilla.