Transformaciones geométricas: homotecia, semejanza, inversión y homología
Las transformaciones geométricas permiten construir figuras semejantes, invertidas o proyectivas sin repetir toda la construcción. En la prueba aragonesa aparecen sobre todo homotecias y semejanzas, inversión aplicada a tangencias y problemas de homología.
Homotecia y semejanza
En una homotecia de centro O y razón k, cada punto P y su homólogo P' están alineados con O y se cumple OP' = |k|·OP. Si k > 0, P' está en la misma semirrecta; si k < 0, en la opuesta. La figura homotética conserva la orientación con k > 0 y queda girada 180° con k < 0. Una semejanza es la composición de una homotecia y un giro (o una simetría); su razón es la de la homotecia y el ángulo de giro se conserva.
Inversión
Con centro O y potencia K, P' es el inverso de P si O, P y P' están alineados y OP·OP' = K. Los puntos de la circunferencia de radio √K son dobles. La inversión es conforme (conserva ángulos) y transforma:
- una recta que pasa por O en sí misma;
- una recta que no pasa por O en una circunferencia que pasa por O;
- una circunferencia que pasa por O en una recta que no pasa por O;
- una circunferencia que no pasa por O en otra circunferencia. Por eso se usa para reducir problemas de tangencia (Apolonio) a casos más sencillos.
Transformación proyectiva: homología
En una homología plana, los pares de puntos homólogos están alineados con el centro y las rectas homólogas se cortan en el eje. Conocidos centro, eje y un par A–A', se construye cualquier B' trazando OB y la recta A'B' hasta el eje, etc. La homóloga de una circunferencia puede ser una elipse, una parábola o una hipérbola según corte o no a la recta límite.
Ejemplo resuelto
Homotecia de un triángulo ABC con centro O y k = −1/2. Se une O con A y se lleva OA' = OA/2 sobre la semirrecta opuesta; se repite con B y C. El triángulo A'B'C' queda reducido a la mitad e invertido respecto de O.
Errores que restan puntos
- Aplicar la razón sin invertir el sentido cuando k es negativa.
- Creer que una razón negativa equivale a una simetría axial.
- Invertir un punto interior a la circunferencia de inversión hacia dentro: su inverso es exterior.
- Confundir homología con homotecia: en la homotecia las rectas homólogas son paralelas; en la homología se cortan en el eje.