Tangencias y curvas técnicas: cónicas, espirales y envolventes
Las tangencias y las curvas técnicas concentran buena parte de los ejercicios de enlace: circunferencias tangentes a rectas o entre sí, óvalos, curvas cónicas y espirales. La prueba exige localizar con precisión los puntos de tangencia, no solo dibujar un arco que parezca enlazar.
Reglas de tangencia
- Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia; la distancia del centro a la recta es igual al radio.
- Dos circunferencias tangentes tienen los centros y el punto de tangencia alineados; la distancia entre centros vale R + r (exterior) o |R − r| (interior).
- El centro de una circunferencia tangente a dos rectas está en la bisectriz del ángulo.
- Las tangentes comunes a dos circunferencias se obtienen con los centros de homotecia (externo e interno).
- En los problemas de Apolonio se reduce el número de elementos sumando o restando radios y aplicando homotecia o inversión.
Cónicas
- Elipse: PF1 + PF2 = 2a, con c² = a² − b². La tangente en P es la bisectriz exterior del ángulo F1PF2.
- Parábola: distancia al foco igual a la distancia a la directriz; la tangente biseca el ángulo entre PF y la paralela al eje.
- Hipérbola: |PF1 − PF2| = 2a, con c² = a² + b²; sus asíntotas pasan por el centro. Para construir puntos de una elipse se usan las circunferencias de diámetros 2a y 2b y la afinidad entre ambas.
Espirales y envolventes
La espiral de Arquímedes cumple r = a·θ: el paso es constante y se construye dividiendo a la vez la circunferencia y el radio en el mismo número de partes. La espiral logarítmica es equiangular y no pasa por el centro. La evolvente (envolvente) de la circunferencia se genera al desenrollar un hilo: se divide la circunferencia y se llevan longitudes de arco sobre las tangentes. Se emplea en el perfil de los dientes de engranaje.
Ejemplo resuelto
Elipse de ejes 100 mm y 60 mm: a = 50, b = 30, c = √(50² − 30²) = 40 mm. Los focos se sitúan a 40 mm del centro sobre el eje mayor. Para un punto P, se comprueba que PF1 + PF2 = 100 mm; la tangente se traza como bisectriz exterior de los radios vectores.
Errores que restan puntos
- Enlazar sin calcular el punto de tangencia, que debe estar en la línea de centros o en la perpendicular al radio.
- Sustituir una elipse por un óvalo de cuatro centros.
- Confundir espiral de Arquímedes con evolvente.
- Elegir la tangencia interior cuando el enunciado pide exterior.