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PAU Technical Drawing II (Castilla y León) practice questions

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Question 1Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo, el punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados recibe el nombre de:

  1. Circuncentro Correct answer.
  2. Ortocentro
  3. Baricentro
  4. Incentro

Explanation

Las mediatrices de los lados son las rectas perpendiculares a cada lado trazadas por su punto medio, y concurren en un único punto llamado circuncentro. Este punto equidista de los tres vértices, por lo que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Question 2Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de nueve lados?

  1. 1080°
  2. 1440°
  3. 900°
  4. 1260° Correct answer.

Explanation

La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados vale (n − 2) · 180°. Para n = 9 resulta 7 · 180° = 1260°.

Question 3Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide:

  1. Un tercio de la hipotenusa
  2. La hipotenusa completa
  3. La raíz cuadrada de la hipotenusa
  4. La mitad de la hipotenusa Correct answer.

Explanation

El triángulo rectángulo está inscrito en una semicircunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa, de modo que el punto medio de esta es el circuncentro. La mediana desde el ángulo recto es un radio de esa circunferencia y mide, por tanto, la mitad de la hipotenusa.

Question 4Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

¿Qué propiedad cumple siempre un cuadrilátero que es a la vez rombo y rectángulo?

  1. Sus diagonales se cortan en proporción dos a uno
  2. Sus diagonales son iguales y perpendiculares entre sí Correct answer.
  3. Sus diagonales son perpendiculares pero de distinta longitud
  4. Sus diagonales son iguales pero nunca perpendiculares

Explanation

Un cuadrilátero que es rombo y rectángulo simultáneamente es un cuadrado. En el cuadrado las diagonales tienen la misma longitud, se cortan perpendicularmente y lo hacen en sus puntos medios.

Question 5Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un hexágono regular de lado 6 cm, ¿cuánto mide la apotema?

  1. 3 cm
  2. 3√3 cm Correct answer.
  3. 6√2 cm
  4. 6√3 cm

Explanation

El hexágono regular se descompone en seis triángulos equiláteros de lado igual al del polígono, y la apotema es la altura de uno de ellos. Por tanto a = (√3/2) · 6 = 3√3 cm.

Question 6Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Un triángulo tiene dos lados de 7 cm y 10 cm. ¿Entre qué valores debe estar el tercer lado para que el triángulo exista?

  1. Entre 7 cm y 10 cm, ambos incluidos
  2. Entre 3 cm y 17 cm, ambos incluidos
  3. Entre 0 cm y 17 cm, ambos excluidos
  4. Entre 3 cm y 17 cm, ambos excluidos Correct answer.

Explanation

La desigualdad triangular exige que cada lado sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Con 7 y 10 cm, el tercer lado debe superar 10 − 7 = 3 cm y ser menor que 10 + 7 = 17 cm. Los valores extremos darían triángulos degenerados.

Question 7Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de doce lados?

  1. 44
  2. 66
  3. 24
  4. 54 Correct answer.

Explanation

El número de diagonales de un polígono de n lados es n(n − 3)/2. Para n = 12 resulta 12 · 9 / 2 = 54 diagonales.

Question 8Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un paralelogramo, dos ángulos consecutivos suman siempre:

  1. Depende de la longitud de los lados
  2. 180° Correct answer.
  3. 90°
  4. 360°

Explanation

En todo paralelogramo los lados son paralelos dos a dos, por lo que los ángulos consecutivos son conjugados internos entre paralelas. Esa condición obliga a que sumen 180°, mientras que los opuestos son iguales.

Question 9Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se quiere construir un triángulo conocidos los tres lados, 5 cm, 6 cm y 8 cm. ¿Qué construcción es la adecuada?

  1. Trazar las tres bisectrices y cortarlas con una circunferencia auxiliar
  2. Situar un lado sobre una recta y trazar arcos con radios iguales a los otros dos lados desde sus extremos Correct answer.
  3. Dibujar primero la circunferencia inscrita y elegir tres tangentes arbitrarias
  4. Trazar las tres mediatrices y tomar como vértices sus intersecciones

Explanation

Conocidos los tres lados, se coloca uno de ellos sobre una recta y se trazan dos arcos desde sus extremos con radios iguales a los lados restantes. El punto donde se cortan ambos arcos es el tercer vértice del triángulo.

Question 10Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Al construir un triángulo isósceles conociendo la base y la altura sobre ella, ¿qué recta se traza como eje de simetría?

  1. La recta paralela a la base por el vértice opuesto
  2. La mediatriz de la base Correct answer.
  3. La bisectriz del ángulo opuesto a la base
  4. Una de las diagonales del triángulo

Explanation

En el triángulo isósceles la altura sobre la base coincide con la mediatriz de esa base, y sobre ella se mide la altura dada. El vértice opuesto se sitúa en esa mediatriz a la distancia indicada.

Question 11Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Para dibujar un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio dado, el procedimiento más directo consiste en:

  1. Dividir la circunferencia en seis arcos iguales con el radio
  2. Trazar dos cuerdas paralelas y unir sus extremos
  3. Trazar un diámetro y dividirlo en cuatro partes iguales
  4. Trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus extremos consecutivos Correct answer.

Explanation

Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro arcos iguales de 90°, y sus extremos son los vértices del cuadrado inscrito. Basta unir esos cuatro puntos consecutivamente.

Question 12Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo, el baricentro divide cada mediana en dos segmentos cuya relación, desde el vértice al punto medio del lado opuesto, es:

  1. 1 a 2
  2. 2 a 1 Correct answer.
  3. 3 a 1
  4. 1 a 1

Explanation

El baricentro es el punto de corte de las medianas y se encuentra a dos tercios de la mediana contados desde el vértice. Por eso la distancia al vértice es el doble de la distancia al punto medio del lado opuesto.

Question 13Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Un trapecio isósceles tiene bases de 12 cm y 6 cm y altura de 4 cm. ¿Cuánto miden sus lados no paralelos?

  1. 5 cm Correct answer.
  2. 4 cm
  3. 6 cm
  4. 3√2 cm

Explanation

La diferencia de las bases es 6 cm y, por simetría, cada lado oblicuo avanza 3 cm sobre la base mayor. Con la altura de 4 cm, el lado mide √(3² + 4²) = 5 cm.

Question 14Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un pentágono regular, ¿cuánto mide cada ángulo central respecto del centro de la circunferencia circunscrita?

  1. 90°
  2. 60°
  3. 72° Correct answer.
  4. 108°

Explanation

El ángulo central de un polígono regular de n lados mide 360°/n. Para el pentágono resulta 360°/5 = 72°, que es también el arco que abarca cada lado.

Question 15Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Al construir un rombo conociendo sus dos diagonales, ¿cómo se sitúan los vértices?

  1. Sobre dos rectas paralelas separadas la semisuma de las diagonales
  2. Sobre dos rectas que forman 60° y se cortan en un extremo
  3. Sobre dos rectas perpendiculares que se cortan en sus puntos medios Correct answer.
  4. Sobre una recta, sumando y restando las diagonales completas

Explanation

Las diagonales del rombo son perpendiculares y se cortan en sus puntos medios. Se trazan dos rectas perpendiculares, se llevan sobre cada una las semidiagonales a ambos lados del corte y se unen los cuatro extremos.

Question 16Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

¿Qué condición debe cumplir un cuadrilátero para que se pueda inscribir en una circunferencia?

  1. Que sus diagonales sean perpendiculares
  2. Que sus ángulos opuestos sean suplementarios Correct answer.
  3. Que sus lados opuestos sean iguales
  4. Que sus ángulos consecutivos sean iguales

Explanation

Un cuadrilátero es cíclico cuando sus ángulos opuestos suman 180°, ya que cada par abarca arcos complementarios de la circunferencia. Esta condición es necesaria y suficiente para la inscripción.

Question 17Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo escaleno, ¿pueden coincidir el ortocentro y el circuncentro?

  1. Solo si el triángulo es equilátero, en cuyo caso coinciden todos los puntos notables Correct answer.
  2. Sí, siempre que el triángulo sea rectángulo
  3. Sí, en cualquier triángulo acutángulo
  4. No pueden coincidir en ningún triángulo

Explanation

La coincidencia de ortocentro y circuncentro implica que las alturas son también mediatrices, lo que obliga a que los tres lados sean iguales. En el triángulo equilátero coinciden circuncentro, incentro, ortocentro y baricentro.

Question 18Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se desea construir un triángulo conociendo un lado, el ángulo opuesto y la altura sobre ese lado. ¿Cuál es el orden de trazado más razonable?

  1. Construir primero el incentro y unir con los extremos del lado
  2. Trazar las tres bisectrices y elegir el vértice sobre una de ellas
  3. Dibujar el lado, situar la paralela a distancia de la altura y cortarla con el arco capaz del ángulo dado Correct answer.
  4. Dibujar el lado y levantar perpendiculares en sus extremos hasta que se corten

Explanation

El vértice opuesto debe estar sobre la paralela al lado a la distancia de la altura y, a la vez, sobre el arco capaz del ángulo dado respecto de ese lado. La intersección de ambos lugares geométricos proporciona el tercer vértice.

Question 19Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un hexágono regular, la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita R y la apotema a es:

  1. a = R/2
  2. a = R · √3
  3. a = R · √3/2 Correct answer.
  4. a = R · √2/2

Explanation

El hexágono regular se descompone en seis triángulos equiláteros de lado R, y la apotema es la altura de uno de ellos. Aplicando la altura del triángulo equilátero resulta a = R√3/2.

Question 20Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Al inscribir un octógono regular en una circunferencia, ¿qué construcción auxiliar permite obtener los vértices de forma exacta?

  1. Dividir un diámetro en ocho partes iguales y trazar paralelas
  2. Trazar dos diámetros perpendiculares y bisectar los cuatro ángulos centrales Correct answer.
  3. Construir un hexágono y prolongar sus lados hasta la circunferencia
  4. Trazar un diámetro y repetir la cuerda del radio seis veces

Explanation

Dos diámetros perpendiculares generan cuatro arcos de 90°; al bisectar cada uno se obtienen ocho arcos de 45°. Los extremos de esos diámetros y de las bisectrices son los ocho vértices del octógono.

Question 21Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se construye un triángulo con un lado de 8 cm y ángulos adyacentes de 45° y 60°. ¿Qué procedimiento garantiza la solución única?

  1. Construir el triángulo equilátero sobre el lado y unir su centro con los extremos
  2. Levantar la mediatriz del lado y tomar un punto arbitrario de ella
  3. Trazar un arco capaz de 105° sobre el lado y elegir un punto cualquiera
  4. Situar el lado y trazar desde cada extremo el ángulo correspondiente hasta que los lados se corten Correct answer.

Explanation

Conocido un lado y los dos ángulos contiguos, se transportan esos ángulos en los extremos del lado. Los lados así trazados se cortan en un único punto, porque el tercer ángulo queda determinado.

Question 22Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto mide la mediana correspondiente a la hipotenusa?

  1. 10,5 cm
  2. 15 cm
  3. 7,5 cm Correct answer.
  4. 6 cm

Explanation

La hipotenusa vale √(9² + 12²) = 15 cm. La mediana trazada desde el ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa, es decir, 7,5 cm.

Question 23Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un trapecio rectángulo, la base mayor mide 14 cm, la menor 8 cm y el lado oblicuo 10 cm. ¿Cuál es su área?

  1. 96 cm²
  2. 70 cm²
  3. 120 cm²
  4. 88 cm² Correct answer.

Explanation

El desfase entre bases es 6 cm y, con el lado oblicuo de 10 cm, la altura vale √(10² − 6²) = 8 cm. El área es (14 + 8)/2 · 8 = 88 cm².

Question 24Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un pentágono regular, la relación entre la diagonal y el lado es el número áureo. ¿Qué consecuencia tiene esto en su construcción?

  1. La diagonal coincide con el radio de la circunferencia circunscrita
  2. La diagonal es igual a la apotema multiplicada por √2
  3. La diagonal es siempre el doble del lado
  4. La diagonal se obtiene dividiendo el lado en media y extrema razón Correct answer.

Explanation

En el pentágono regular la diagonal y el lado guardan la proporción áurea, de modo que la diagonal es la sección mayor de la división del lado en media y extrema razón. Esto permite construir el pentágono a partir de su lado mediante esa división.

Question 25Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se quiere construir un triángulo conociendo dos lados y la mediana correspondiente al tercero. ¿Qué recurso geométrico hace posible la construcción?

  1. Duplicar la mediana para obtener el paralelogramo cuya diagonal es el tercer lado Correct answer.
  2. Trazar el arco capaz del ángulo formado por los dos lados dados
  3. Construir las tres bisectrices y cortarlas con la mediana
  4. Levantar la perpendicular a uno de los lados en su punto medio

Explanation

Al prolongar la mediana una longitud igual a la suya se forma un paralelogramo cuyos lados son los dos dados y cuya diagonal mide el doble de la mediana. Construido ese paralelogramo, se recupera el triángulo dividiéndolo por la diagonal.

Question 26Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En la construcción de un triángulo equilátero de lado dado, ¿qué ángulo central permite dividir la circunferencia circunscrita en tres arcos iguales para obtener los vértices?

  1. 60°
  2. 90°
  3. 180°
  4. 120° Correct answer.

Explanation

En un triángulo equilátero los tres vértices dividen la circunferencia circunscrita en tres arcos iguales, y el ángulo central correspondiente a cada arco es 360°/3 = 120°. Por tanto, basta con llevar esa abertura angular sobre la circunferencia desde un vértice inicial para obtener los otros dos.

Question 27Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Un cuadrilátero tiene sus cuatro lados iguales, pero sus ángulos no son rectos. ¿Qué tipo de cuadrilátero es necesariamente?

  1. Un cuadrado
  2. Un rombo Correct answer.
  3. Un trapecio isósceles
  4. Un rectángulo

Explanation

Un cuadrilátero con los cuatro lados iguales es un rombo; si además tuviera los cuatro ángulos rectos sería un cuadrado, que es un caso particular. La condición de lados iguales no obliga a que los ángulos sean rectos, por lo que la figura general es el rombo.

Question 28Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se construye un polígono regular por el método de dividir la circunferencia circunscrita en partes iguales. Si se traza un radio y se lleva sobre la circunferencia una cuerda igual al lado del polígono, ¿qué condición debe cumplir esa cuerda para que el polígono quede cerrado exactamente en el punto de partida?

  1. Que el radio se divida en tantas partes como lados tenga el polígono
  2. Que el ángulo central asociado sea un divisor exacto de 360° Correct answer.
  3. Que la cuerda sea mayor que el diámetro de la circunferencia
  4. Que la apotema coincida con el radio de la circunferencia

Explanation

El método de división de la circunferencia funciona porque cada lado abarca un arco cuyo ángulo central mide 360°/n. Solo si ese ángulo es divisor exacto de 360° el número entero de cuerdas cierra el polígono justo en el vértice inicial sin solapamientos.

Question 29Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

En un paralelogramo se conocen el lado mayor AB = 8 cm, el lado menor AD = 5 cm y el ángulo en A de 60°. Al construir la figura con regla y compás, ¿qué elemento determina directamente la posición del vértice C?

  1. La intersección de la paralela a AB por D con la paralela a AD por B Correct answer.
  2. La intersección de la diagonal AC con la mediatriz de AB
  3. El punto medio del segmento que une A y B
  4. La intersección de las bisectrices de los ángulos A y B

Explanation

En un paralelogramo los lados opuestos son paralelos, de modo que CD es paralela a AB y BC es paralela a AD. Trazando por D la paralela a AB y por B la paralela a AD, su intersección fija el cuarto vértice C y cierra la figura con lados opuestos iguales.

Question 30Plane geometry: triangles, quadrilaterals, polygons and their constructions

Se quiere inscribir un pentágono regular en una circunferencia de radio R utilizando la construcción de Durero. ¿Qué relación existe entre el lado del pentágono y el radio de la circunferencia circunscrita?

  1. El lado es el segmento áureo del radio: l = R·√((5−√5)/2) Correct answer.
  2. El lado es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita
  3. El lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita
  4. El lado es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita

Explanation

En el pentágono regular la relación entre el lado y el radio circunscrito viene dada por l = 2R·sen(36°), expresión equivalente a R·√((5−√5)/2) ≈ 1,176R. Esta relación áurea es la base de la construcción aproximada de Durero, que obtiene el lado a partir de la división áurea del radio.

Question 31Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En una elipse definida como lugar geométrico, la suma de distancias desde cualquier punto de la curva a los dos focos es constante. Si el semieje mayor mide 25 mm, ¿cuánto vale esa suma?

  1. 50 mm Correct answer.
  2. 25 mm
  3. 12,5 mm
  4. 100 mm

Explanation

La definición focal de la elipse establece que la suma de distancias a los focos es igual a 2a, siendo a el semieje mayor. Por tanto, con a = 25 mm la suma constante vale 50 mm. Esta constante es la base de la construcción del jardinero con cuerda tensada.

Question 32Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En una hipérbola, el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante, ¿qué representa el valor 2a respecto a los vértices?

  1. La distancia entre los dos vértices de la hipérbola Correct answer.
  2. La distancia entre los dos focos
  3. La distancia de un foco al centro
  4. La longitud del eje imaginario

Explanation

La constante de la definición focal de la hipérbola es 2a, que coincide con la distancia entre los dos vértices situados sobre el eje real. Los focos están a distancia 2c y el eje imaginario mide 2b. La relación fundamental es c² = a² + b².

Question 33Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento AB bajo un ángulo recto?

  1. La circunferencia de diámetro AB, excluidos A y B Correct answer.
  2. La circunferencia con centro en A y radio AB
  3. Una recta paralela a AB por su punto medio
  4. La mediatriz del segmento AB

Explanation

El arco capaz de 90° sobre un segmento es la circunferencia cuyo diámetro es ese segmento, según el teorema de Tales. Los propios extremos A y B no forman ángulo, por lo que se excluyen. Este lugar es la base de muchas construcciones de tangencias.

Question 34Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En una parábola, la recta directriz y el foco determinan el lugar geométrico. ¿Qué relación cumple todo punto de la curva?

  1. Su distancia al foco es el doble que a la directriz
  2. Su distancia a la directriz es constante e igual al parámetro
  3. Su distancia al vértice es igual al parámetro
  4. Su distancia al foco es igual a su distancia a la directriz Correct answer.

Explanation

La parábola se define como el lugar de puntos que equidistan del foco y de la recta directriz. El vértice está a media distancia entre foco y directriz. El parámetro es la distancia del foco a la directriz.

Question 35Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

Al trazar la circunferencia tangente a dos rectas que se cortan, ¿dónde se sitúa su centro?

  1. Sobre la mediatriz del segmento entre los puntos de corte
  2. En el punto de intersección de las dos rectas
  3. Sobre una recta paralela a una de ellas
  4. Sobre una de las bisectrices de las rectas Correct answer.

Explanation

El centro de toda circunferencia tangente a dos rectas equidista de ambas, y el lugar de puntos equidistantes de dos rectas concurrentes son sus bisectrices. Existen dos bisectrices y, por tanto, dos familias de soluciones simétricas. El radio se fija con la distancia del centro a cada recta.

Question 36Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En el método de los lugares geométricos para hallar el centro de una circunferencia de radio conocido tangente a una recta dada, el centro se encuentra:

  1. Sobre una perpendicular a la recta por un punto arbitrario
  2. Sobre la propia recta dada
  3. Sobre la circunferencia de radio doble centrada en la recta
  4. Sobre una paralela a la recta a distancia igual al radio Correct answer.

Explanation

Si la circunferencia es tangente a una recta, su centro dista de ella exactamente el radio. El lugar de los centros es, por tanto, una recta paralela a la dada a esa distancia, con dos opciones según el lado. Al combinar con otro lugar se obtiene el centro buscado.

Question 37Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

Se desea trazar las rectas tangentes desde un punto exterior P a una circunferencia de centro O. ¿Qué construcción determina los puntos de tangencia?

  1. La recta OP corta a la circunferencia en los puntos de tangencia
  2. La mediatriz de OP corta a la circunferencia en los puntos de tangencia
  3. La circunferencia de diámetro OP corta a la circunferencia dada en los puntos de tangencia Correct answer.
  4. Una paralela a OP por el centro O da los puntos de tangencia

Explanation

El punto de tangencia forma ángulo recto con el radio, de modo que el triángulo OPT es rectángulo en T. Por el arco capaz de 90° sobre OP, T pertenece a la circunferencia de diámetro OP. La intersección de ambas circunferencias proporciona los dos puntos de tangencia.

Question 38Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

Para construir una elipse por el método de los puntos, se traza una circunferencia de diámetro igual al eje mayor y se toman cuerdas. ¿Qué propiedad se utiliza para obtener cada punto de la elipse?

  1. La traslación de los puntos de la circunferencia según el eje menor
  2. La simetría respecto a la recta directriz
  3. La homotecia de centro en el foco y razón 2
  4. La afinidad entre la circunferencia y la elipse, con razón b/a sobre el eje menor Correct answer.

Explanation

La elipse es una circunferencia afín aplastada según el eje menor con razón b/a. Cada vertical trazada por un punto de la circunferencia se corta con la horizontal correspondiente para obtener el punto de la elipse. Este procedimiento es equivalente al de las circunferencias principal y secundaria.

Question 39Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En una hipérbola equilátera, ¿qué relación existe entre los semiejes?

  1. b = 2a, por lo que las asíntotas forman 60° con los ejes
  2. a = b, por lo que las asíntotas forman 45° con los ejes Correct answer.
  3. a = 2b, por lo que las asíntotas forman 30° con los ejes
  4. a = c, por lo que no existen asíntotas

Explanation

En la hipérbola equilátera los semiejes real e imaginario son iguales, a = b. Como las asíntotas tienen pendiente b/a, resultan perpendiculares entre sí y forman 45° con los ejes. Además, en este caso c = a√2.

Question 40Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

Se quiere dibujar una recta tangente a una parábola en uno de sus puntos. ¿Qué propiedad geométrica permite trazarla?

  1. La tangente es paralela a la directriz en cualquier punto
  2. La tangente en un punto biseca el ángulo formado por el radio focal y la recta paralela al eje Correct answer.
  3. La tangente es siempre perpendicular al eje de la parábola
  4. La tangente pasa por el vértice de la parábola en todos los casos

Explanation

La tangente a la parábola en un punto P es la bisectriz del ángulo entre el segmento PF y la recta paralela al eje que pasa por P. Esta propiedad óptica explica la reflexión de rayos paralelos hacia el foco. La normal es perpendicular a esa tangente.

Question 41Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

Al resolver una tangencia entre una recta y una circunferencia con radio conocido, se obtienen dos soluciones. ¿Por qué?

  1. Porque la circunferencia dada tiene dos centros posibles
  2. Porque el radio puede tomar dos valores distintos
  3. Porque la recta siempre corta a la circunferencia en dos puntos de tangencia
  4. Porque el lugar de centros es una paralela a la recta a distancia r, con dos posiciones según el lado Correct answer.

Explanation

El centro debe distar r de la recta, lo que da dos paralelas, una a cada lado. Al intersecar con el otro lugar (por ejemplo, otra paralela u otra circunferencia) aparecen hasta cuatro soluciones. Las soluciones simétricas corresponden a tangencias exteriores e interiores.

Question 42Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En el trazado de una circunferencia tangente a otras dos dadas, el centro buscado se localiza mediante:

  1. La intersección de dos lugares de centros obtenidos al sumar o restar radios Correct answer.
  2. La mediatriz del segmento que une los centros dados
  3. La intersección de las dos circunferencias dadas
  4. El punto medio entre los dos centros dados

Explanation

Cada condición de tangencia con una circunferencia se traduce en un lugar de centros: circunferencias concéntricas con la dada de radio R ± r. La intersección de los dos lugares da los centros solución. El signo depende de si la tangencia es exterior o interior.

Question 43Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

¿Cuántos puntos de intersección puede tener como máximo una recta con una elipse, y qué implica ello para las tangentes desde un punto exterior?

  1. Dos puntos; desde un punto exterior se pueden trazar dos tangentes a la elipse Correct answer.
  2. Un punto; desde un punto exterior solo hay una tangente
  3. Cuatro puntos; desde un punto exterior hay cuatro tangentes
  4. Tres puntos; desde un punto exterior hay tres tangentes

Explanation

Una recta corta a una cónica en dos puntos como máximo, contando multiplicidad. Por dualidad, desde un punto exterior a la elipse se pueden trazar dos tangentes, cuyos puntos de contacto se obtienen con la circunferencia principal o la polar.

Question 44Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En el método de los focos para trazar una elipse, se sitúan los focos y se marca la suma 2a. ¿Qué herramienta o procedimiento materializa la condición focal?

  1. Una escuadra apoyada en la directriz
  2. Una cuerda de longitud 2a sujeta en ambos focos y tensada con el lápiz Correct answer.
  3. Una regla que une los focos y se desplaza paralelamente
  4. Un compás con centro alterno en los focos y radio a

Explanation

El método del jardinero usa una cuerda de longitud 2a fijada en los focos; al mantenerla tensa, el lápiz describe puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Es la realización material de la definición focal. También se emplea el método de puntos con circunferencias auxiliares.

Question 45Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En un mecanismo de biela-manivela, el punto del extremo de la biela describe una trayectoria. Si se considera el movimiento de un punto intermedio de la biela, ¿qué curva describe?

  1. Una elipse, por la suma de dos movimientos armónicos desfasados Correct answer.
  2. Una hipérbola con asíntotas en los ejes del mecanismo
  3. Una parábola con foco en la manivela
  4. Una circunferencia exacta

Explanation

El punto intermedio de la biela describe una elipse denominada elipse de la biela, resultado de componer el giro de la manivela y el deslizamiento del patín. Los semiejes dependen de la posición del punto en la biela y de la longitud de la manivela. Es un ejemplo de curva generada por un mecanismo.

Question 46Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

El lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento AB bajo un ángulo de 60° está formado por:

  1. Dos rectas paralelas a AB
  2. La mediatriz de AB
  3. Dos arcos capaces simétricos respecto de AB, con centro en la mediatriz Correct answer.
  4. Una única circunferencia completa con centro en el punto medio de AB

Explanation

El arco capaz de 60° se construye trazando el ángulo en un extremo y determinando el centro sobre la mediatriz. El lugar completo son dos arcos simétricos, uno a cada lado del segmento. Cada arco pertenece a una circunferencia distinta.

Question 47Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

Al determinar la intersección de una recta con una hipérbola, se obtiene la ecuación cuadrática correspondiente. ¿Qué caso especial puede aparecer?

  1. Que la recta corte siempre en tres puntos reales
  2. Que la recta sea paralela a una asíntota y corte a la hipérbola en un solo punto finito Correct answer.
  3. Que la intersección sea siempre vacía
  4. Que la recta sea tangente en dos puntos simultáneamente

Explanation

Si la recta es paralela a una asíntota, la ecuación cuadrática degenera en lineal y solo hay un punto de corte finito. En general una recta corta a la hipérbola en dos, uno o ningún punto real. Este comportamiento está ligado a la dirección de las asíntotas.

Question 48Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En una construcción de tangencias se aplica el concepto de inversión. ¿Cuál es la propiedad fundamental que la hace útil para transformar tangencias en rectas?

  1. Conserva los ángulos y transforma circunferencias que pasan por el centro de inversión en rectas Correct answer.
  2. Transforma toda recta en una elipse
  3. Conserva las distancias entre puntos
  4. Duplica los radios de todas las circunferencias

Explanation

La inversión es una transformación conforme: conserva ángulos y convierte circunferencias que pasan por el centro en rectas. Por ello permite resolver tangencias complicadas transformándolas en problemas más sencillos. La potencia de inversión k cumple OP·OP' = k.

Question 49Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

En el óvalo técnico formado por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí, ¿qué condición garantiza la continuidad de la curva en los puntos de enlace?

  1. Que los arcos se corten en lugar de tocarse
  2. Que los centros de los arcos consecutivos y el punto de enlace estén alineados Correct answer.
  3. Que los centros formen un cuadrado perfecto
  4. Que todos los arcos tengan el mismo radio

Explanation

Para que dos arcos de circunferencia sean tangentes en un punto, sus centros y ese punto deben estar alineados. Esta condición asegura la continuidad de la tangente en el enlace. Si los centros no están alineados con el punto común, la curva presenta un vértice o punto anguloso.

Question 50Geometric loci and tangent constructions (conics as loci, tangencies, linkages)

Se traza una circunferencia tangente a tres rectas no concurrentes que forman un triángulo. ¿Cuántas soluciones existen y dónde están sus centros?

  1. Cuatro soluciones: el incentro y los tres exincentros, sobre las bisectrices Correct answer.
  2. Dos soluciones: sobre dos de las bisectrices
  3. Tres soluciones: una por cada vértice
  4. Una sola solución: el incentro del triángulo

Explanation

Cada par de rectas genera dos bisectrices; combinando las tres condiciones se obtienen cuatro centros: el incentro y los tres exincentros. Todos equidistan de las tres rectas, pero con radios distintos. Las circunferencias correspondientes son la inscrita y las tres excritas.