Geometría plana: triángulos, cuadriláteros y polígonos
Este bloque evalúa la construcción con regla y compás de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares, y el razonamiento que hay detrás de cada trazado. En la PAU de Castilla y León suele abrir el examen: hay que resolver la figura con precisión y conservar los arcos y líneas auxiliares que justifican la solución.
Triángulos
- Tres datos no degenerados determinan el triángulo: LLL, LAL y ALA se construyen directamente; LLA es el caso ambiguo y puede dar dos, una o ninguna solución.
- Desigualdad triangular: cada lado es menor que la suma de los otros dos.
- Puntos notables: circuncentro (mediatrices, centro de la circunferencia circunscrita), incentro (bisectrices), ortocentro (alturas) y baricentro (medianas, a 2/3 del vértice); en el triángulo equilátero coinciden los cuatro.
- Recta de Euler: alinea circuncentro, baricentro y ortocentro.
Cuadriláteros
- Paralelogramos: las diagonales se bisecan; en el rectángulo son iguales, en el rombo perpendiculares y en el cuadrado iguales y perpendiculares, lo que permite construirlo conocida la diagonal (diámetros perpendiculares de la circunferencia circunscrita).
- Trapecios: se construyen llevando la diferencia de bases a un lado, con lo que el problema se reduce a un triángulo.
- En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es 360°.
Polígonos regulares
- Relaciones: ángulo central 360°/n, ángulo interior 180° − 360°/n, lado = 2R·sen(180°/n).
- Construcciones exactas: hexágono (lado = radio), cuadrado, octógono por bisección, triángulo, y pentágono/decágono mediante la razón áurea φ = 1,618.
- Método general conocido el lado: los centros Oₙ se sitúan sobre la mediatriz del lado; O₆ a la distancia del lado del vértice, O₄ a s/2, O₅ en el punto medio de O₄O₆ y los siguientes por bisecciones sucesivas.
Ejemplo resuelto
Pentágono regular de lado AB = 30 mm. La diagonal vale d = φ·s = 48,5 mm. Se trazan dos arcos de radio d con centros A y B: su intersección es el vértice D. Con centro B y radio d, y centro A y radio s, se obtiene C; simétricamente, E. La justificación es que desde cada vértice del pentágono salen dos diagonales de longitud φ·s y el ángulo interior es 108°.
Errores que cuestan puntos
- Confundir incentro con circuncentro o dibujar el ortocentro con medianas.
- Dar una sola solución en el caso LLA, que es ambiguo.
- Borrar los arcos auxiliares: se penaliza el trazado no justificado.
- Colocar el vértice del pentágono en el lado equivocado de la mediatriz.