Lugares geométricos, tangencias y mecanismos
Los lugares geométricos y las tangencias son los ejercicios de razonamiento de la asignatura: no se reproduce un trazado, se identifica dónde puede estar el centro de la circunferencia buscada y se aplican las propiedades de la tangencia. Aparecen con frecuencia asociados a mecanismos que generan curvas.
Lugares geométricos básicos
- Mediatriz (equidistantes de dos puntos), bisectriz (equidistantes de dos rectas), circunferencia (distancia r a un punto) y paralelas a distancia d.
- Arco capaz de ángulo α sobre un segmento: dos arcos simétricos; base de las construcciones con ángulo dado.
- Cónicas como lugares: elipse (suma de distancias a los focos = 2a), hipérbola (diferencia = 2a), parábola (equidistancia foco-directriz).
Propiedades de la tangencia
- La tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.
- Circunferencias tangentes: centros y punto de tangencia alineados; exterior d = R + r, interior d = |R − r|.
- Recta tangente a una circunferencia: por un punto de ella (perpendicular al radio), desde un punto exterior (circunferencia de diámetro OP) o paralela a una dirección dada (perpendicular desde el centro).
- Circunferencia de radio r tangente a dos elementos: su centro está en la intersección de los lugares de centros; frente a una circunferencia de radio R se usan concéntricas de radio R + r y |R − r|.
Mecanismos
- Pantógrafo: reproducción a escala mediante homotecia.
- Inversor de Peaucellier–Lipkin: convierte un arco de circunferencia en una recta, logrando movimiento rectilíneo exacto.
- Elipsógrafo de Arquímedes (trammel): dos correderas perpendiculares; el punto describe una elipse cuyos semiejes son sus distancias a cada corredera.
Ejemplo resuelto
Circunferencias de radio 15 mm tangentes a una recta r y a una circunferencia de centro O y radio 20 mm. Los centros deben estar en la paralela a r a 15 mm y en las concéntricas a O de radios 35 mm (tangencia exterior) y 5 mm (tangencia interior). Cada intersección válida da una solución, hasta cuatro. Los puntos de tangencia se obtienen alineando cada centro con O o trazando la perpendicular a r.
Errores que cuestan puntos
- Olvidar el caso de tangencia interior (R − r) y perder la mitad de las soluciones.
- No marcar los puntos de tangencia.
- Elegir la bisectriz equivocada al tangenciar dos rectas que se cortan.
- Sustituir el compás por trazado a mano alzada.