Cónicas: elementos, construcciones y tangentes
Las cónicas se estudian aquí como lugares geométricos con elementos y tangentes propias: el examen pide identificar focos, ejes y asíntotas, construir puntos de la curva y trazar la tangente en un punto o paralela a una dirección.
Elementos
- Elipse: focos F y F′, eje mayor 2a, menor 2b, relación a² = b² + c², excentricidad e = c/a < 1. Circunferencia principal (centro O, radio a) y circunferencias focales (centro en un foco, radio 2a).
- Hipérbola: |PF − PF′| = 2a, c² = a² + b², asíntotas y = ±(b/a)x, e > 1.
- Parábola: PF = distancia a la directriz, e = 1; parámetro p = distancia foco-directriz, vértice en el punto medio.
Construcciones
- Por puntos, aplicando la definición: en la elipse, arcos de radios variables que sumen 2a; en la hipérbola, que resten 2a; en la parábola, arcos con centro en F y rectas paralelas a la directriz.
- Por afinidad: la elipse es la imagen afín de la circunferencia de radio a; se trazan perpendiculares al eje mayor y se reducen las ordenadas en la proporción b/a.
Tangentes
- Elipse: la tangente en P es la bisectriz del ángulo exterior de los radios vectores PF y PF′ (la normal bisecta el interior).
- Parábola: la tangente en P bisecta el ángulo entre PF y la paralela al eje trazada por P.
- Hipérbola: la tangente bisecta el ángulo entre los radios vectores.
- Desde un punto exterior Q a una elipse: se traza la circunferencia focal (centro F′, radio 2a) y la de diámetro QF; sus intersecciones unidas con F′ dan los puntos de tangencia.
- Tangente paralela a una dirección d: la perpendicular desde un foco a d corta a la circunferencia principal en un punto por el que pasa la tangente buscada.
Ejemplo resuelto
Elipse de semiejes a = 40 mm y b = 25 mm. c = √(40² − 25²) = √975 ≈ 31,2 mm; e = 0,78. Se marcan los focos a 31,2 mm del centro y se obtienen puntos con la condición PF + PF′ = 80 mm. La tangente en un punto P se traza hallando la bisectriz del ángulo exterior entre PF y PF′.
Errores que cuestan puntos
- Confundir la circunferencia focal (radio 2a) con la principal (radio a).
- Hacer que la tangente bisecte el ángulo interior.
- Intercambiar b y c en la relación a² = b² + c².
- En la parábola, medir la distancia a la directriz en oblicuo en lugar de perpendicularmente.