Diédrico: punto, recta y plano; intersecciones, paralelismo y perpendicularidad
El sistema diédrico es el bloque con más peso en la PAU: se piden intersecciones, paralelismos, perpendicularidades y distancias resueltas con rigor, sin tanteos.
El punto, la recta y el plano
- PH y PV se cortan en la línea de tierra. Un punto se define por su proyección horizontal (alejamiento) y vertical (cota); las cotas negativas indican puntos por debajo del PH.
- Una recta se define por sus trazas H (con el PH) y V (con el PV); su proyección vertical une V con la referencia de H sobre la LT, y la horizontal une H con la de V.
- Un plano se representa por su traza horizontal α₁ y su vertical α₂, que se cortan en la LT salvo en los planos paralelos a ella.
- Pertenencia: un punto pertenece al plano si está en una recta del plano; una recta pertenece al plano si sus trazas están en las trazas homónimas.
Intersecciones
- Recta–plano: se hace pasar por la recta un plano auxiliar proyectante; su intersección con el plano dado es una recta que corta a la original en el punto buscado.
- Plano–plano: se unen los puntos en que se cortan las trazas homónimas; si no se ven en el papel, se usa un plano horizontal auxiliar que produce dos rectas horizontales cuya intersección es un punto de la recta común.
Paralelismo y perpendicularidad
- Recta paralela a plano: lo es a alguna recta del plano. Planos paralelos: trazas homónimas paralelas.
- Recta perpendicular a plano: sus proyecciones son perpendiculares a las trazas homónimas y a las proyecciones de una horizontal y una frontal del plano.
- Planos perpendiculares: uno contiene una recta perpendicular al otro.
Ejemplo resuelto
Distancia de un punto P (alejamiento 30, cota 40) a un plano α. Se traza por P la perpendicular r (r₁ ⊥ α₁, r₂ ⊥ α₂); se determina su intersección I con α mediante un plano proyectante auxiliar. La distancia real PI se obtiene por el triángulo rectángulo: catetos = diferencia de cotas (40 − cota de I) y la proyección horizontal PI₁.
Errores que cuestan puntos
- Confundir alejamiento y cota al trasladar puntos.
- Trazar la perpendicular a la LT en lugar de a la traza.
- Creer que dos planos son perpendiculares porque sus trazas lo sean.
- No comprobar que el punto de intersección pertenece a ambos elementos.