Cerámica con un parámetro en el horno
Una empresa de cerámica de La Orotava fabrica tres modelos (A, B y C) que consumen arcilla, esmalte y horas de horno. Cada unidad de A requiere 1 kg de arcilla, 2 litros de esmalte y 1 hora de horno; cada B, 1 kg, 1 litro y k horas; cada C, 1 kg, 3 litros y 1 hora. Para el próximo mes la empresa dispone de 30 kg de arcilla, 60 litros de esmalte y 40 horas de horno. La producción se planifica resolviendo el sistema x+y+z=30, 2x+y+3z=60, x+ky+z=40, donde x, y, z son las unidades de A, B y C. El taller sospecha que el valor de k, que depende del modelo de horno instalado, puede hacer que el plan sea imposible: el jefe de producción recuerda que el mes pasado, con k=1, el sistema no tenía solución y se quedaron sin reparto. Necesitan saber para qué valores de k existe un plan único y qué ocurre exactamente en el caso conflictivo, antes de firmar el contrato de suministro de arcilla.
1. Discute, según los valores de k, el número de soluciones del sistema y justifica si puede haber infinitas. Utiliza el determinante y el teorema de Rouché–Capelli.
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La matriz de coeficientes es A = [[1,1,1],[2,1,3],[1,k,1]]. Su determinante:
det(A) = 1·(1−3k) − 1·(2−3) + 1·(2k−1) = 1−3k+1+2k−1 = 1−k.
Por tanto, si k≠1, det(A)≠0 y el sistema es compatible determinado: solución única. Si k=1, la primera y la tercera ecuación tienen los mismos coeficientes (x+y+z) pero términos independientes 30 y 40; restando se obtiene 0=10, contradicción. Así, rango(A)=2 (las dos primeras filas son independientes) y rango(A|b)=3, luego el sistema es incompatible. No hay ningún valor de k que produzca infinitas soluciones: el parámetro solo separa el caso único del incompatible.
2. Resuelve el sistema para k=2 e interpreta el plan obtenido. Comprueba la solución en las tres ecuaciones.
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Para k=2, det(A)=−1. Por Cramer:
det(Ax)=|30 1 1; 60 1 3; 40 2 1| = 30(1−6)−1(60−120)+1(120−40)=−150+60+80=−10, luego x=10.
det(Ay)=|1 30 1; 2 60 3; 1 40 1| = 1(60−120)−30(2−3)+1(80−60)=−60+30+20=−10, luego y=10.
det(Az)=|1 1 30; 2 1 60; 1 2 40| = 1(40−120)−1(80−60)+30(4−1)=−80−20+90=−10, luego z=10.
Comprobación: 10+10+10=30; 20+10+30=60; 10+20+10=40. El plan es fabricar 10 unidades de cada modelo; usa todos los recursos y es la única forma de hacerlo.
3. Manteniendo k=1, la dirección puede fijar la disponibilidad de horno en H horas en lugar de 40. ¿Para qué valores de H hay solución? Analiza H=30 y H=50, e indica cuántas soluciones hay y qué significan.
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Con k=1 el sistema es x+y+z=30, 2x+y+3z=60, x+y+z=H. Si H≠30, la primera y la tercera ecuación son incompatibles, luego no hay solución; H=50 es incompatible. Si H=30, la primera y la tercera coinciden; quedan dos ecuaciones independientes con tres incógnitas: rango 2, infinitas soluciones con un grado de libertad. Tomando z=t: x+y=30−t y 2x+y=60−3t; restando, x=30−2t, y=t. La no negatividad exige t≥0 y 30−2t≥0, es decir, t∈[0,15]. Cada t de ese intervalo es un plan factible; por ejemplo t=0 da (30,0,0). Interpretación: solo si la disponibilidad de horno coincide exactamente con la arcilla hay planes alternativos; cualquier otro valor hace imposible cumplir las tres restricciones a la vez.