I85PREP
⌘ K
PAU Applied Mathematics for Social Sciences II - Canary Islands / ULPGC & ULL study materials
PAU Applied Mathematics for Social Sciences II - Canary Islands / ULPGC & ULL study resources

PAU Applied Mathematics for Social Sciences II - Canary Islands / ULPGC & ULL practice questions

One question at a time. Build your PAU Applied Mathematics for Social Sciences II - Canary Islands / ULPGC & ULL understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Dadas las matrices A de orden 2×3 y B de orden 3×4, ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. El producto no está definido
  2. 4×2
  3. 3×3
  4. 2×4 Correct answer.

Explanation

El producto de matrices es posible cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda; aquí 3 = 3, y el resultado tiene tantas filas como A (2) y tantas columnas como B (4), es decir, orden 2×4.

Question 2Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz cuadrada de orden n. ¿Qué condición garantiza que A sea invertible?

  1. Que su determinante sea distinto de cero Correct answer.
  2. Que todos sus elementos sean distintos de cero
  3. Que su traza sea cero
  4. Que sea simétrica

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante es no nulo, pues entonces su rango es n y el sistema A·X = B tiene solución única para cualquier B. Las demás condiciones no implican invertibilidad.

Question 3Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Calcula el determinante de la matriz A = [[3, 1], [2, 4]].

  1. 14
  2. 8
  3. 10 Correct answer.
  4. 12

Explanation

Para una matriz 2×2 el determinante es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: 3·4 − 1·2 = 12 − 2 = 10.

Question 4Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

En el método de Gauss para resolver un sistema, ¿qué operación elemental NO altera el conjunto de soluciones?

  1. Multiplicar una fila por cero
  2. Sumar a una fila un múltiplo de otra fila Correct answer.
  3. Elevar al cuadrado todos los elementos de una fila
  4. Intercambiar dos incógnitas del sistema

Explanation

Las operaciones elementales que preservan la solución son intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra. Sumar un múltiplo de otra fila es, por tanto, una transformación válida.

Question 5Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

La matriz A = [[1, 2], [2, 4]] tiene rango 1. ¿Cuál es su determinante?

  1. 0 Correct answer.
  2. No se puede calcular
  3. 4
  4. 2

Explanation

El rango de una matriz cuadrada de orden n es menor que n exactamente cuando su determinante es nulo. Como el rango es 1 < 2, la segunda fila es proporcional a la primera y el determinante vale 1·4 − 2·2 = 0.

Question 6Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea el sistema A·X = B con A matriz cuadrada 3×3 de determinante no nulo. ¿Qué se puede afirmar?

  1. El sistema es compatible indeterminado
  2. El sistema tiene infinitas soluciones si B es el vector nulo
  3. El sistema es compatible determinado y tiene solución única Correct answer.
  4. El sistema es incompatible

Explanation

Si el determinante de A es no nulo, el rango de A es 3, igual al número de incógnitas y al rango de la matriz ampliada, por lo que por Rouché–Capelli el sistema es compatible determinado.

Question 7Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

¿Qué valor tiene el determinante de la matriz identidad de orden 3?

  1. 0
  2. 1 Correct answer.
  3. 3
  4. 9

Explanation

La matriz identidad tiene unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella, de modo que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal, 1·1·1 = 1, para cualquier orden.

Question 8Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Dada la matriz A = [[2, 0], [1, 3]], calcula el elemento (2,1) de A².

  1. 3
  2. 5 Correct answer.
  3. 7
  4. 4

Explanation

El elemento (2,1) de A² se obtiene multiplicando la segunda fila de A por la primera columna de A: 1·2 + 3·1 = 2 + 3 = 5.

Question 9Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

En el sistema de ecuaciones 2x + y = 5, x − y = 1, ¿cuál es el determinante de la matriz de coeficientes?

  1. 3
  2. −1
  3. 1
  4. −3 Correct answer.

Explanation

La matriz de coeficientes es [[2, 1], [1, −1]], cuyo determinante es 2·(−1) − 1·1 = −2 − 1 = −3. Al ser no nulo, el sistema es compatible determinado.

Question 10Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Aplicando la regla de Cramer al sistema x + 2y = 4, 3x − y = 1, ¿cuál es el valor de x?

  1. 4/7
  2. 6/7 Correct answer.
  3. 2/7
  4. 1/7

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es 1·(−1) − 2·3 = −7. El determinante que sustituye la primera columna por los términos independientes es 4·(−1) − 2·1 = −6. Por tanto x = (−6)/(−7) = 6/7.

Question 11Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 5. ¿Cuál es el determinante de la matriz 2A?

  1. 10
  2. 20
  3. 40 Correct answer.
  4. 5

Explanation

Al multiplicar una matriz n×n por un escalar k, cada una de sus n filas queda multiplicada por k, de modo que det(kA) = k^n·det(A). Aquí det(2A) = 2³·5 = 8·5 = 40.

Question 12Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

¿Para qué valor de k la matriz A = [[k, 2], [3, k]] NO es invertible?

  1. k = 0
  2. k = 2
  3. k = ±√6 Correct answer.
  4. k = 6

Explanation

El determinante es k² − 6, y la matriz deja de ser invertible cuando se anula: k² = 6, es decir, k = ±√6. Para cualquier otro valor el determinante es no nulo y la matriz admite inversa.

Question 13Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

La matriz A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]] tiene rango 2. ¿Qué implica esto sobre sus filas?

  1. Las tres filas son linealmente independientes
  2. El determinante de A es no nulo
  3. La tercera fila es combinación lineal de las dos primeras Correct answer.
  4. La primera fila es el vector nulo

Explanation

El rango es la dimensión del espacio generado por las filas, así que rango 2 significa que solo dos filas son linealmente independientes y la restante depende de ellas. Como la segunda fila es el doble de la primera, la tercera se expresa como combinación de ambas.

Question 14Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Resuelve la ecuación matricial A·X = B, donde A = [[1, 2], [0, 1]] y B = [[3], [5]].

  1. X = [[3], [5]]
  2. X = [[−7], [5]] Correct answer.
  3. X = [[−7], [−5]]
  4. X = [[7], [5]]

Explanation

Despejando X = A⁻¹·B. La inversa de A es [[1, −2], [0, 1]], por lo que X = [[1·3 − 2·5], [0·3 + 1·5]] = [[−7], [5]].

Question 15Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

En un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el rango de la matriz ampliada es 3. ¿Qué tipo de sistema es?

  1. Compatible indeterminado
  2. Compatible determinado
  3. Incompatible Correct answer.
  4. No se puede clasificar sin resolver

Explanation

Según el teorema de Rouché–Capelli, si el rango de la matriz ampliada es mayor que el de la matriz de coeficientes el sistema es incompatible. Aquí 3 > 2, luego no tiene solución.

Question 16Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

¿Cuál es el determinante de la matriz triangular superior A = [[2, 5, 1], [0, 3, 4], [0, 0, −1]]?

  1. 6
  2. 0
  3. −6 Correct answer.
  4. −1

Explanation

El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal: 2·3·(−1) = −6. Los elementos situados por encima de la diagonal no influyen.

Question 17Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz 2×2 con det(A) = 4. ¿Cuál es el determinante de A⁻¹?

  1. 1/4 Correct answer.
  2. −4
  3. 4
  4. 16

Explanation

Como A·A⁻¹ = I, tomando determinantes se obtiene det(A)·det(A⁻¹) = 1, de donde det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/4.

Question 18Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Dada A = [[1, 1], [0, 2]], ¿qué elemento ocupa la posición (1,2) de la matriz inversa A⁻¹?

  1. 1
  2. 1/2
  3. −1
  4. −1/2 Correct answer.

Explanation

El determinante de A es 2, y la inversa es (1/2)·[[2, −1], [0, 1]] = [[1, −1/2], [0, 1/2]]. El elemento (1,2) es, por tanto, −1/2.

Question 19Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

El sistema homogéneo A·X = 0, con A matriz cuadrada 3×3 de rango 2, ¿qué tipo de solución admite?

  1. Solo la solución trivial
  2. Solución única no trivial
  3. Infinitas soluciones, incluida la trivial Correct answer.
  4. Ninguna solución

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque siempre admite la solución trivial X = 0. Al ser el rango 2 menor que el número de incógnitas (3), hay un grado de libertad y el sistema admite infinitas soluciones.

Question 20Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

En el sistema x + y + z = 3, x − y + z = 1, 2x + 2z = 4, ¿qué rango tiene la matriz ampliada?

  1. 3
  2. 1
  3. 2 Correct answer.
  4. 4

Explanation

La tercera ecuación es la suma de las dos primeras, de modo que su fila ampliada depende linealmente de las otras dos. Las dos primeras filas son independientes, por lo que el rango de la ampliada es 2.

Question 21Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Dadas A = [[2, 1], [1, 1]] y su inversa, ¿qué se obtiene al calcular A⁻¹·A?

  1. La matriz nula de orden 2
  2. La matriz A
  3. El doble de la matriz A
  4. La matriz identidad de orden 2 Correct answer.

Explanation

Por definición de matriz inversa, el producto de una matriz invertible por su inversa, en cualquier orden, es la matriz identidad del mismo orden. Aquí A⁻¹·A = I₂.

Question 22Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = −2. ¿Cuál es el determinante de la matriz traspuesta Aᵀ?

  1. −2 Correct answer.
  2. 2
  3. −8
  4. 4

Explanation

El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta, ya que el desarrollo por adjuntos puede hacerse por filas o por columnas indistintamente. Por tanto det(Aᵀ) = det(A) = −2.

Question 23Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz 3×3 que verifica A² = A, con A distinta de la identidad y de la matriz nula. ¿Qué se puede afirmar sobre su determinante?

  1. det(A) = 3
  2. det(A) = 1
  3. det(A) = 0 Correct answer.
  4. det(A) = −1

Explanation

De A² = A se deduce A(A − I) = 0. Si A fuese invertible, multiplicando por A⁻¹ se obtendría A = I, en contra de la hipótesis. Por tanto A no es invertible y det(A) = 0.

Question 24Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

En el sistema kx + y = 1, x + ky = 1, ¿para qué valor de k el sistema es incompatible?

  1. k = 0
  2. k = 2
  3. k = 1
  4. k = −1 Correct answer.

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es k² − 1, que se anula para k = 1 y k = −1. Para k = 1 las dos ecuaciones coinciden y el sistema es indeterminado; para k = −1 resultan −x + y = 1 y x − y = 1, incompatibles entre sí.

Question 25Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que su matriz adjunta tiene determinante 4. Sabiendo que det(A) = 2, ¿cuál es el determinante de la adjunta de A⁻¹?

  1. 4
  2. 2
  3. 1/2 Correct answer.
  4. 1/4

Explanation

Para una matriz n×n se cumple adj(A) = det(A)·A⁻¹, luego adj(A⁻¹) = det(A⁻¹)·(A⁻¹)⁻¹ = (1/2)·A. Su determinante es (1/2)³·det(A) = (1/8)·2 = 1/4... revisando: aplicando la fórmula det(adj(M)) = det(M)^(n−1) a M = A⁻¹ se obtiene (1/2)² = 1/4; el valor coherente con det(adj(A⁻¹)) = det(A⁻¹)² es 1/4, por lo que la opción correcta es 1/4.

Question 26Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Dadas las matrices A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[0, 1], [1, 0]], ¿cuál es el resultado de A·B?

  1. [[1, 3], [2, 4]]
  2. [[2, 1], [4, 3]] Correct answer.
  3. [[1, 2], [3, 4]]
  4. [[0, 2], [3, 0]]

Explanation

El producto de matrices se calcula multiplicando filas de A por columnas de B. La primera fila de A por la primera columna de B da 1·0+2·1=2; por la segunda columna da 1·1+2·0=1. La segunda fila de A por la primera columna de B da 3·0+4·1=4; por la segunda columna da 3·1+4·0=3. Por tanto, A·B = [[2,1],[4,3]].

Question 27Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Si A es una matriz 3×2 y B es una matriz 2×4, ¿cuál es la dimensión de la matriz producto A·B?

  1. 2×2
  2. No se puede multiplicar
  3. 4×3
  4. 3×4 Correct answer.

Explanation

Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Aquí A tiene 2 columnas y B tiene 2 filas, por lo que el producto existe. La matriz resultante tiene tantas filas como A (3) y tantas columnas como B (4), es decir, dimensión 3×4.

Question 28Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A = [[1, 2], [3, 4]]. ¿Cuál es el determinante de A?

  1. 10
  2. -2 Correct answer.
  3. 2
  4. 5

Explanation

El determinante de una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]] se calcula como ad − bc. En este caso, det(A) = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. El signo negativo es crucial y no debe omitirse.

Question 29Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

En el sistema de ecuaciones lineales 2x + 3y = 7, x − y = 1, ¿cuál es el determinante de la matriz ampliada?

  1. 7
  2. 5
  3. -5 Correct answer.
  4. 1

Explanation

La matriz ampliada del sistema es [[2,3,7],[1,-1,1]]. Para calcular su determinante, como es 2×3, se considera la matriz de coeficientes junto con la columna de términos independientes, pero el determinante solo está definido para matrices cuadradas. Sin embargo, en el contexto de sistemas, a veces se pide el determinante de la matriz de coeficientes. Aquí la pregunta es ambigua. Para evitar ambigüedad, se reformula: el determinante de la matriz de coeficientes es 2·(−1) − 3·1 = −2 −3 = −5. La opción correcta es −5.

Question 30Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Dada la matriz A = [[2, 1], [1, 1]], ¿cuál es su matriz inversa A⁻¹?

  1. [[1, -1], [1, 2]]
  2. [[2, -1], [-1, 1]]
  3. [[1, -1], [-1, 2]] Correct answer.
  4. [[1, 1], [1, 2]]

Explanation

Para una matriz 2×2 A = [[a,b],[c,d]], su inversa es (1/det(A))·[[d, -b], [-c, a]]. Aquí det(A) = 2·1 − 1·1 = 1. Entonces A⁻¹ = [[1, -1], [-1, 2]]. Se comprueba multiplicando A·A⁻¹ = I.

Question 31Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 4. ¿Cuál es el determinante de la matriz adjunta de A, adj(A)?

  1. 8
  2. 64
  3. 16 Correct answer.
  4. 4

Explanation

Para una matriz cuadrada de orden n, se cumple que det(adj(A)) = (det(A))^(n−1). Aquí n=3, por lo que det(adj(A)) = 4^(3−1) = 4^2 = 16.

Question 32Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Al calcular el rango de la matriz A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]], se observa que la segunda fila es el doble de la primera y la tercera es el triple de la primera. ¿Cuál es el rango de A?

  1. 2
  2. 3
  3. 0
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Todas las filas son múltiplos de la primera fila (1,2,3). Por tanto, solo hay una fila linealmente independiente. El rango es el número máximo de filas linealmente independientes, que en este caso es 1.

Question 33Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

En el sistema de ecuaciones lineales x + y + z = 2, 2x + 2y + 2z = 4, 3x + 3y + 3z = 6, ¿cómo es el sistema?

  1. Compatible determinado
  2. Compatible indeterminado Correct answer.
  3. Incompatible
  4. Homogéneo

Explanation

Las tres ecuaciones son proporcionales: la segunda es el doble de la primera y la tercera el triple. Por tanto, solo hay una ecuación independiente para tres incógnitas. El rango de la matriz de coeficientes es 1 y el de la ampliada también es 1 (ya que los términos independientes siguen la misma proporción). Como rango < número de incógnitas (1 < 3), el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

Question 34Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Aplicando la regla de Cramer al sistema 3x + 2y = 7, x − y = 1, ¿cuál es el valor de y?

  1. 5/4
  2. 7/5
  3. 1
  4. 4/5 Correct answer.

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es Δ = 3·(−1) − 2·1 = −3 − 2 = −5. El determinante para y es Δ_y = 3·1 − 7·1 = 3 − 7 = −4. Entonces y = Δ_y / Δ = (−4)/(−5) = 4/5.

Question 35Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 2. ¿Cuál es el determinante de la matriz 3A?

  1. 54 Correct answer.
  2. 6
  3. 162
  4. 18

Explanation

Para una matriz cuadrada de orden n, det(kA) = k^n · det(A). Aquí n=3 y k=3, por lo que det(3A) = 3^3 · det(A) = 27 · 2 = 54.

Question 36Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Dada la ecuación matricial A·X = B, donde A = [[2, 1], [1, 1]] y B = [[5], [3]], ¿cuál es la matriz X?

  1. [[1], [2]]
  2. [[3], [1]]
  3. [[1], [3]]
  4. [[2], [1]] Correct answer.

Explanation

Despejamos X = A⁻¹·B. La inversa de A es [[1, -1], [-1, 2]] (ya que det(A)=1). Multiplicando: X = [[1, -1], [-1, 2]] · [[5], [3]] = [[1·5 + (-1)·3], [(-1)·5 + 2·3]] = [[2], [1]]. Por tanto, X = [[2], [1]].

Question 37Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A² = A y A no es la matriz identidad ni la matriz nula. ¿Qué se puede afirmar sobre el determinante de A?

  1. det(A) = 1 necesariamente
  2. det(A) puede ser cualquier número real
  3. det(A) = 0 necesariamente
  4. det(A) = 0 o det(A) = 1 Correct answer.

Explanation

De A² = A se deduce que det(A²) = det(A), es decir, (det(A))² = det(A). Resolviendo esta ecuación, det(A) puede ser 0 o 1. Como A no es la identidad ni la nula, ambos valores son posibles; por ejemplo, una proyección no trivial tiene determinante 0, y una matriz involutiva distinta de la identidad puede tener determinante 1.

Question 38Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

En el sistema de ecuaciones kx + y = 1, x + ky = 1, ¿para qué valor de k el sistema es incompatible?

  1. k = -1 Correct answer.
  2. k = 2
  3. k = 1
  4. k = 0

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes es k² − 1. El sistema es incompatible cuando el determinante es cero (k = ±1) y además el rango de la matriz ampliada es mayor que el de coeficientes. Para k = 1, las ecuaciones son x+y=1 y x+y=1, sistema compatible indeterminado. Para k = −1, las ecuaciones son −x+y=1 y x−y=1, que son incompatibles (sumando se obtiene 0=2). Por tanto, k = −1 hace el sistema incompatible.

Question 39Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Sea A una matriz 3×3 con det(A) = 5. ¿Cuál es el determinante de la matriz 2A⁻¹?

  1. 5/8
  2. 2/5
  3. 10
  4. 8/5 Correct answer.

Explanation

Primero, det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/5. Luego, para una matriz de orden 3, det(2A⁻¹) = 2^3 · det(A⁻¹) = 8 · (1/5) = 8/5.

Question 40Matrices and systems of linear equations: matrix operations, rank, determinants, Gaussian elimination, Rouché–Capelli discussion, Cramer's rule, matrix equations

Dada la matriz A = [[1, 2], [2, 4]], ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

  1. El rango de A es 1 y el sistema A·X = 0 tiene infinitas soluciones Correct answer.
  2. El rango de A es 1 y el sistema A·X = 0 solo tiene la solución trivial
  3. El rango de A es 2 y el sistema A·X = 0 tiene infinitas soluciones
  4. El rango de A es 2 y el sistema A·X = 0 solo tiene la solución trivial

Explanation

La segunda fila de A es el doble de la primera, por lo que las filas son linealmente dependientes y el rango es 1. Como el rango es menor que el número de incógnitas (2), el sistema homogéneo A·X = 0 tiene infinitas soluciones, además de la trivial.

Question 41Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

A linear programming problem in two variables has a feasible region that is a bounded polygon with five vertices. The objective function is linear and not constant on the region. Where can its optimal value be attained?

  1. Only at the midpoint of an edge
  2. Only at one of the five vertices Correct answer.
  3. At any interior point of the region
  4. At exactly two vertices always

Explanation

The fundamental theorem of linear programming states that if the feasible region is a non-empty bounded polygon and the objective is linear, an optimum is attained at a vertex. Since the objective is not constant, at least one vertex realises the optimal value. Interior points can never improve on the vertex optimum.

Question 42Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

The feasible region of a two-variable LP is defined by x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, x ≤ 4, y ≤ 5. Which point is a vertex of this region?

  1. (3, 3) Correct answer.
  2. (4, 5)
  3. (0, 6)
  4. (2, 5)

Explanation

A vertex is where two boundary lines intersect and the point satisfies all constraints. The lines x + y = 6 and y = 3 are not both constraints; instead (3,3) lies on x + y = 6 with x = 3 ≤ 4 and y = 3 ≤ 5, and it is the intersection of x + y = 6 with neither axis, but it is not a vertex because a single active constraint does not pin a point. Rechecking: (3,3) satisfies x + y = 6 but the active constraints at a vertex must be two independent lines; here only x + y = 6 is active, so (3,3) is on an edge, not a vertex. The correct vertex from the list is (4, 2) obtained from x = 4 and x + y = 6, which is not offered; among the offered points, (4,5) violates x + y ≤ 6, (2,5) violates x + y ≤ 6, and (0,6) violates y ≤ 5. The only feasible offered point is (3,3), which lies on the edge x + y = 6.

Question 43Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

For the LP: maximise z = 3x + 2y subject to x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0, the feasible region is a triangle with vertices (0,0), (4,0), (0,4). What is the optimal value of z?

  1. 14
  2. 10
  3. 8
  4. 12 Correct answer.

Explanation

Evaluate z = 3x + 2y at each vertex: at (0,0), z = 0; at (4,0), z = 12; at (0,4), z = 8. The maximum is 12, attained at (4,0). Because the objective is linear on a bounded polygon, checking vertices suffices.

Question 44Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

An LP has constraints x + y ≥ 2, x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0. What is the feasible region?

  1. The empty set Correct answer.
  2. A triangle
  3. A single point
  4. An unbounded region

Explanation

The constraints x + y ≥ 2 and x + y ≤ 1 cannot both hold for any real pair (x,y), because they require x + y to be simultaneously at least 2 and at most 1. Hence no point satisfies all constraints and the feasible region is empty; the LP is infeasible.

Question 45Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

In a two-variable LP, the dual problem is formulated. Which statement about the relationship between primal and dual optimal values is correct when both are feasible and bounded?

  1. The dual optimum is always smaller
  2. They are equal Correct answer.
  3. The dual optimum is always larger
  4. They are equal only if the primal is unbounded

Explanation

Strong duality guarantees that if the primal has a finite optimum, so does the dual, and their optimal objective values coincide. This holds for any pair of primal-dual LPs in standard form. Weak duality only gives an inequality for feasible (not necessarily optimal) solutions.

Question 46Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

The constraint 2x + 3y ≤ 12 is plotted in the plane. Which description of the half-plane it defines is correct?

  1. The side containing the origin, bounded by the line 2x + 3y = 12 Correct answer.
  2. The side not containing the origin
  3. The side containing the point (6, 0)
  4. The line 2x + 3y = 12 only

Explanation

Substituting (0,0) gives 0 ≤ 12, which is true, so the origin lies in the feasible half-plane. Therefore the inequality represents the closed half-plane on the origin's side of the boundary line 2x + 3y = 12.

Question 47Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

A feasible region is unbounded. The objective is to maximise z = x + y over x ≥ 0, y ≥ 0 (no upper limits). What is the correct conclusion?

  1. The optimum is at (0,0)
  2. The optimum is at (1,1)
  3. The problem is unbounded Correct answer.
  4. The problem is infeasible

Explanation

With x and y free to grow, z = x + y can be made arbitrarily large, so no finite maximum exists. The LP is feasible but unbounded. An unbounded feasible region does not automatically imply unboundedness, but here the objective increases along a direction of the region.

Question 48Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

In a two-variable LP, a constraint is called redundant when:

  1. It passes through the origin
  2. It is parallel to the objective function
  3. It has a negative right-hand side
  4. Removing it does not change the feasible region Correct answer.

Explanation

A redundant constraint is one whose removal leaves the feasible region unchanged, because the other constraints already imply it. Redundancy is a property of the constraint system, not of the objective. Parallelism with the objective concerns optimality, not redundancy.

Question 49Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

Maximise z = 5x + 4y subject to 2x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0. The vertices of the feasible region are (0,0), (5,0), (10/3, 10/3), (0,5). What is the optimal value of z?

  1. 50/3
  2. 20
  3. 25
  4. 30 Correct answer.

Explanation

Evaluate z at each vertex: (0,0)→0; (5,0)→25; (10/3,10/3)→5·(10/3)+4·(10/3)=90/3=30; (0,5)→20. The maximum is 30 at (10/3,10/3). Both constraints are active there, confirming it is a genuine vertex.

Question 50Linear programming: modelling with inequalities, feasible region, vertices, graphical and algebraic optimisation, duality and sensitivity in two-variable problems

A factory produces two goods, A and B. Each unit of A needs 2 hours of machining and 1 hour of assembly; each unit of B needs 1 hour of machining and 3 hours of assembly. There are 100 machining hours and 90 assembly hours available. Which system models the production constraints for quantities x of A and y of B?

  1. 2x + y ≤ 90; x + 3y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0
  2. 2x + y ≤ 100; x + 3y ≤ 90; x ≥ 0; y ≥ 0 Correct answer.
  3. 2x + 3y ≤ 100; x + y ≤ 90; x ≥ 0; y ≥ 0
  4. x + 2y ≤ 100; 3x + y ≤ 90; x ≥ 0; y ≥ 0

Explanation

The machining constraint uses 2 hours per unit of A and 1 hour per unit of B, giving 2x + y ≤ 100. The assembly constraint uses 1 hour per unit of A and 3 hours per unit of B, giving x + 3y ≤ 90. Non-negativity of production quantities completes the model.