Producción de dos dulces con horas de horno escasas
Una pastelería de Santa Cruz de Tenerife elabora dos especialidades: bienmesabe (x kg) y truchas de almendra (y kg). Cada kg de bienmesabe consume 2 kg de almendra y 1 kg de azúcar, y necesita 1 hora de horno; cada kg de truchas consume 1 kg de almendra, 2 kg de azúcar y 1 hora de horno. Para la campaña de Navidad dispone de 100 kg de almendra, 80 kg de azúcar y 55 horas de horno. El margen de contribución es de 30 € por kg de bienmesabe y 40 € por kg de truchas. La pastelería quiere decidir la producción semanal, pero el proveedor de horno ofrece horas extra a 15 €/hora y el azúcar podría subir de precio. El maestro pastelero desconfía de la solución intuitiva de «fabricar solo truchas, que dejan más margen» y pide una justificación gráfica y algebraica, además de saber cuánto valdría realmente una hora adicional de horno y qué precio sombra tiene cada recurso.
1. Formula el problema de programación lineal, representa la región factible, calcula todos los vértices y determina la producción óptima y el margen máximo.
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Modelo: maximizar 30x+40y sujeto a 2x+y≤100 (almendra), x+2y≤80 (azúcar), x+y≤55 (horno), x,y≥0.
Vértices: (0,0); corte del eje x con la recta más restrictiva: (50,0); corte del eje y: (0,40); intersección de 2x+y=100 y x+2y=80: (40,20), pero x+y=60>55, no factible; intersección de 2x+y=100 y x+y=55: (45,10), factible; intersección de x+2y=80 y x+y=55: (30,25), factible. La región es el pentágono (0,0), (50,0), (45,10), (30,25), (0,40).
Valores de la función objetivo: (0,0)=0; (50,0)=1500; (45,10)=1350+400=1750; (30,25)=900+1000=1900; (0,40)=1600. El óptimo es (30,25): 30 kg de bienmesabe y 25 kg de truchas, con margen de 1900 €. La intuición de fabricar solo truchas daría 1600 €, peor.
2. Si se pudieran comprar horas extra de horno a 15 €/hora, ¿interesa hacerlo? ¿Hasta cuántas horas y con qué ganancia neta? Calcula el precio sombra del horno y su intervalo de validez.
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Sea 55+t la capacidad de horno. Para 0≤t≤5 el óptimo es la intersección de x+2y=80 y x+y=55+t: y=25−t, x=30+2t. El margen es 30(30+2t)+40(25−t)=1900+20t, luego cada hora extra aporta 20 €. Como cuesta 15 €, interesa ampliar hasta t=5, es decir, hasta 60 horas: ganancia neta de 5 €/hora y 25 € en total. Para t>5 el horno deja de ser restrictivo: el óptimo se queda en (40,20), con margen 2000 €, y una hora extra no vale nada. Por tanto, el precio sombra del horno es 20 €/hora solo hasta 60 horas; después es 0.
3. Formula el problema dual y obtén los precios sombra a partir de la solución óptima. Interpreta cada variable y comprueba la holgura complementaria.
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Primal: max 30x+40y con 2x+y≤100, x+2y≤80, x+y≤55, x,y≥0. Dual: min 100u+80v+55w sujeto a 2u+v+w≥30, u+2v+w≥40, u,v,w≥0.
En el óptimo (30,25): almendra 2·30+25=85<100, hay holgura, luego u=0. Azúcar y horno están activos. Como x,y>0, las restricciones duales se cumplen con igualdad: v+w=30 y 2v+w=40, de donde v=10 y w=20. Comprobación: 100·0+80·10+55·20=1900, igual al valor primal.
Interpretación: una hora extra de horno vale 20 € (coincide con la sensibilidad), un kg extra de azúcar vale 10 € y la almendra tiene precio sombra 0 porque sobra. La holgura complementaria se cumple: recurso con holgura, precio sombra nulo.