Patinetes eléctricos: continuidad, tangente y beneficio
Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos de Las Palmas modela su coste mensual, en miles de euros, en función de x miles de alquileres mediante C(x)=0,5x²+20x+300 si 0≤x≤100, y C(x)=ax−4900+10000/x si x>100. El gerente quiere comprobar si el modelo es continuo y derivable en x=100, porque la empresa planea superar ese umbral, y sospecha que el parámetro a debe fijarse por continuidad. La demanda permite fijar el precio por alquiler como p(x)=80−0,5x euros, válido para 0≤x≤100. Con estos datos, la dirección debe decidir si conviene crecer por encima de 100, cómo estimar el coste de pasar de 50 a 52 mil alquileres y cuál es el volumen que maximiza el beneficio. El comité de dirección pide justificar los cálculos y no fiarse de la intuición: en el pasado, un cambio de tarifa mal calculado les costó clientes.
1. Determina a para que C sea continua en x=100 y comprueba si con ese valor es derivable. Calcula después lim x→∞ C(x)/x y la asíntota oblicua de C(x), e interpreta el resultado.
Read the worked answer
Por la izquierda: C(100)=0,5·100²+20·100+300=5000+2000+300=7300. Por la derecha: 100a−4900+10000/100=100a−4800. Continuidad: 100a−4800=7300, luego a=121.
Derivadas laterales: para x<100, C'(x)=x+20, que en 100 vale 120. Para x>100, C'(x)=a−10000/x², que con a=121 vale 121−1=120. Coinciden, luego es derivable en 100.
A largo plazo, C(x)/x=121−4900/x+10000/x²→121, y C(x)−121x=−4900+10000/x→−4900. La asíntota es y=121x−4900: el coste medio por mil alquileres tiende a 121 miles de euros por mil alquileres, es decir, 121 € por alquiler, y el término fijo se diluye.
2. Halla la recta tangente a C(x) en x=50 y utilízala para estimar C(52). Compara con el valor real y explica el signo del error.
Read the worked answer
En el tramo cuadrático, C'(x)=x+20. C(50)=0,5·2500+20·50+300=1250+1000+300=2550 y C'(50)=70. La tangente es y=2550+70(x−50).
Estimación: C(52)≈2550+70·2=2690. Valor real: C(52)=0,5·2704+1040+300=1352+1040+300=2692. El error es 2 miles de euros por defecto. La causa es que C''(x)=1>0: la función es convexa y la tangente queda por debajo de la curva. La aproximación lineal es buena para variaciones pequeñas, pero no debe presentarse como exacta.
3. Suponiendo 0≤x≤100, obtén el beneficio π(x), el volumen que lo maximiza, el precio y el beneficio máximo. Comprueba que es un máximo y comenta si el tramo x>100 afecta a la decisión.
Read the worked answer
Ingreso: R(x)=x·p(x)=x(80−0,5x)=80x−0,5x². Beneficio: π(x)=R(x)−C(x)=80x−0,5x²−0,5x²−20x−300=−x²+60x−300.
π'(x)=−2x+60=0 → x=30. π''(x)=−2<0, luego es un máximo. Precio: p(30)=80−15=65 €. Beneficio: π(30)=−900+1800−300=600 miles de euros.
El óptimo x=30 está dentro del tramo 0≤x≤100, por lo que el tramo x>100 no interviene en la decisión: no conviene superar 100 mil alquileres con este modelo, ya que el beneficio decrece después de 30. La empresa debe fijar 30 mil alquileres y 65 € por alquiler.