Bodega: coste marginal, excedentes y beneficio
Una bodega de Lanzarote vende x miles de botellas de malvasía al mes. El coste marginal, en miles de euros por mil botellas, es C'(x)=0,4x+30 y el coste fijo mensual es de 1500 miles de euros. La demanda permite fijar el precio por botella como p(x)=150−0,6x euros, de modo que el ingreso marginal es R'(x)=150−1,2x en las mismas unidades. La bodega quiere saber cuántas botellas producir para maximizar el beneficio, cómo obtener el coste total a partir del marginal y qué representa el área entre las curvas de ingreso y coste marginal. El gerente recuerda que el año pasado produjeron 90 mil botellas y el beneficio fue menor, pero no sabe si el área calculada servirá para justificar ante el consejo regulador el excedente del consumidor. Pide que se distingan con claridad el excedente del consumidor, el excedente del productor y el beneficio contable.
1. Obtén la función de coste total C(x) a partir del coste marginal y del coste fijo. Explica el papel de la constante de integración y calcula el coste variable acumulado entre 0 y x.
Read the worked answer
C(x)=∫(0,4x+30)dx=0,2x²+30x+K. La condición C(0)=1500 fija K=1500, es decir, K es el coste fijo: cualquier primitiva difiere en una constante y solo la condición inicial la determina. Así, C(x)=0,2x²+30x+1500.
El coste variable acumulado entre 0 y x es ∫₀ˣ C'(t)dt=C(x)−C(0)=0,2x²+30x. Esto muestra la interpretación de la integral definida como acumulación del coste marginal.
2. Calcula el beneficio π(x)=R(x)−C(x), el nivel de producción que lo maximiza, el precio y el beneficio máximo. Comprueba la condición de segundo orden.
Read the worked answer
R(x)=150x−0,6x². Entonces π(x)=150x−0,6x²−(0,2x²+30x+1500)=−0,8x²+120x−1500.
π'(x)=−1,6x+120=0 → x=75. π''(x)=−1,6<0, luego es un máximo. Precio: p(75)=150−45=105 €. Beneficio: π(75)=−0,8·5625+120·75−1500=−4500+9000−1500=3000 miles de euros, es decir, 3 millones de euros. Producir 90 mil botellas daría un beneficio menor porque π'(90)=−24<0: a partir de 75 mil botellas cada mil adicionales reduce el beneficio.
3. Calcula el área entre R' y C' desde 0 hasta el óptimo y explica qué representa. Calcula también el excedente del consumidor y el del productor, y relaciona este último con el beneficio contable.
Read the worked answer
Área entre R' y C': ∫₀⁷⁵(120−1,6x)dx=[120x−0,8x²]₀⁷⁵=9000−4500=4500 miles de euros. Es el margen bruto: beneficio más coste fijo (3000+1500). No es el beneficio contable porque no descuenta el coste fijo.
Excedente del consumidor: ∫₀⁷⁵(p(x)−p*)dx=∫₀⁷⁵(150−0,6x−105)dx=∫₀⁷⁵(45−0,6x)dx=3375−1687,5=1687,5 miles de euros.
Excedente del productor: ∫₀⁷⁵(p*−C'(x))dx=∫₀⁷⁵(105−(0,4x+30))dx=∫₀⁷⁵(75−0,4x)dx=5625−1125=4500 miles de euros, que coincide con el margen bruto. Por tanto, beneficio contable = excedente del productor − coste fijo.