Sobreventa hotelera: binomial, normal y Bayes
Un hotel de 250 habitaciones en el sur de Tenerife acepta reservas con sobreventa. Históricamente, el 8% de las reservas no se presenta, y el hotel admite 265 reservas para una noche concreta. La dirección quiere cuantificar el riesgo de tener que realojar clientes y estudia dos cuestiones: por un lado, modelar el número de no presentados como una variable binomial y aproximarla mediante una normal con corrección por continuidad; por otro, analizar el canal de procedencia, ya que el 75% de las reservas llegan por la web con una tasa de no presentación del 9%, mientras que el 25% restante llega por agencias con una tasa del 5%. El jefe de recepción advierte que las reservas de grupos familiares no son independientes, y el director comercial quiere saber si conviene mantener la política de 265 reservas o reducirla, así como qué probabilidad hay de que un no presentado proceda de la web. Piden cálculos justificados y una recomendación prudente.
1. Define la variable X = número de no presentados entre las 265 reservas. Justifica el modelo binomial, calcula su media y su desviación típica, y discute si la hipótesis de independencia es razonable.
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Si cada reserva falta con probabilidad constante 0,08 e independientemente de las demás, X~B(265,0,08). Media: E(X)=np=265·0,08=21,2. Varianza: Var(X)=np(1−p)=265·0,08·0,92=19,504; desviación típica: σ=√19,504≈4,416.
La independencia es discutible: familias y grupos reservan varias habitaciones y cancelan o llegan juntos, lo que genera correlación positiva y aumenta la varianza real. Si eso ocurre, la binomial subestima el riesgo en las colas. También puede fallar la constancia de p si cambian las condiciones del mercado. Por eso el modelo debe tomarse como una primera aproximación y la recomendación final debe ser prudente.
2. Con la aproximación normal y corrección por continuidad, estima la probabilidad de poder alojar a todos los clientes con reserva. Interpreta el riesgo y valora si mantener 265 reservas es prudente.
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Hay 265−250=15 habitaciones de margen; para alojar a todos se necesitan al menos 15 no presentados: P(X≥15). Con corrección por continuidad, P(X≥15)≈P(Z≥(14,5−21,2)/4,416)=P(Z≥−1,517).
Φ(1,52)≈0,935, luego P(Z≥−1,517)≈0,935. El riesgo de tener que realojar a alguien es aproximadamente 6,5% por noche. No es despreciable: si el coste de realojar y compensar supera el margen de una habitación, conviene reducir la sobreventa. La aproximación es razonable porque np=21,2 y n(1−p)=243,8 son mayores que 5; aun así, la dependencia entre reservas de grupos aconseja no ajustar la política solo con este cálculo.
3. Con los datos de los dos canales, calcula la probabilidad total de no presentación y, aplicando Bayes, la probabilidad de que una reserva no presentada proceda de la web. Calcula también la probabilidad de que una reserva que sí se presenta proceda de la web.
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Sean W=reserva web y A=reserva de agencia; F=no presentarse. P(W)=0,75, P(F|W)=0,09; P(A)=0,25, P(F|A)=0,05.
Probabilidad total: P(F)=0,75·0,09+0,25·0,05=0,0675+0,0125=0,08, coherente con el dato histórico del 8%.
Bayes: P(W|F)=P(F|W)P(W)/P(F)=0,0675/0,08=0,84375. Es decir, el 84,4% de los no presentados procede de la web.
Si la reserva se presenta: P(presentarse)=0,92 y P(W y presentarse)=0,75·0,91=0,6825, luego P(W|presentarse)=0,6825/0,92≈0,7418, el 74,2%. La web concentra la mayoría de los no-show, pero también la mayoría de las llegadas, porque aporta tres cuartas partes de las reservas.