Coste por tramos en una pastelería: continuidad, mínimo y pedido adicional
La pastelería Ca'n Joan, en Inca, modela el coste diario C(x), en euros, de producir x kg de ensaimadas. Para 0 ≤ x ≤ 200, C(x) = 0,01x² + 4x + 300. La dirección ha observado que, a partir de 200 kg, el coste marginal se dispara por el segundo turno, y quiere sustituir ese tramo por una recta C(x) = ax + b para x > 200. Para que la función sea creíble, C debe ser continua y derivable en x = 200; además, se busca el nivel de producción que minimiza el coste medio por kg, C(x)/x, y compararlo con producir 200 kg. Un cliente mayorista ha pedido 250 kg diarios, y la pastelería debe decidir si le interesa aceptar el pedido o limitarse a 200 kg y derivar el resto a otra tienda. Todos los cálculos se harán en el intervalo 0 < x ≤ 300.
1. Determina a y b para que C sea continua y derivable en x=200.
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Continuidad en x=200: C(200⁻)=0,01·200²+4·200+300=400+800+300=1500. C(200⁺)=200a+b. Igualando: 200a+b=1500. Derivabilidad: C'(x)=0,02x+4 para x<200, luego C'(200⁻)=4+4=8. Para x>200, C'(x)=a. Igualando: a=8. Entonces b=1500-200·8=1500-1600=-100. Así C(x)=8x-100 para x>200. Con estos valores la función es continua y derivable en 200; además C'(200)=8, que es el coste marginal del tramo recto.
2. Encuentra el mínimo del coste medio en 0<x≤200 y compáralo con x=200.
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Coste medio A(x)=C(x)/x=0,01x+4+300/x para 0<x≤200. A'(x)=0,01-300/x². A'=0 implica x²=30000, x=√30000≈173,21 kg (se descarta la raíz negativa). A''(x)=600/x³>0, luego es mínimo. A(173,21)=0,01·173,21+4+300/173,21≈1,732+4+1,732=7,464 €/kg. En x=200, A(200)=1500/200=7,50 €/kg. El mínimo está en 173,21 kg, no en el extremo; producir exactamente 200 kg es ligeramente más caro por kg.
3. Decide si aceptar el pedido de 250 kg sabiendo que el precio de venta es 7,8 €/kg y que producir 200 kg y derivar el resto no genera coste extra.
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Para 250 kg, C(250)=8·250-100=1900 €; ingreso=250·7,8=1950 €; beneficio=50 €. Para 200 kg, C(200)=1500 €; ingreso=200·7,8=1560 €; beneficio=60 €. La diferencia es que los últimos 50 kg tienen coste marginal 8 €/kg, superior al precio 7,8 €/kg: cada kg adicional pierde 0,2 €, y 50 kg pierden 10 €. Aunque el coste medio a 250 kg sea 7,6 €/kg (aparentemente rentable), la decisión correcta es no aceptar el tramo adicional y quedarse en 200 kg, derivando los 50 kg restantes a otra tienda, siempre que no haya coste extra. Si el pedido completo de 250 kg fuera obligatorio, habría que comparar con no vender; pero con la opción de derivar, se rechaza la ampliación.