Catalonia PAU Applied Mathematics for Social Sciences Exam cheat sheet

Rouché–Frobenius decide el tipo de sistema comparando r(A) y r(A*) con el número de incógnitas.

Cramer exige det(A) ≠ 0; si se anula, hay que discutir por casos.

A⁻¹ = C(A)ᵀ/det(A), con C(A) matriz de cofactores y det(A) ≠ 0; comprueba A·A⁻¹ = I.

En AX = B se multiplica por la izquierda; en XA = B, por la derecha.

Un sistema compatible indeterminado se responde con su solución paramétrica, no solo con la etiqueta.

L'Hôpital solo después de verificar 0/0 o ∞/∞.

f'(x) = 0 no garantiza extremo: hace falta cambio de signo.

Bolzano justifica la existencia de raíces con cambio de signo en un intervalo cerrado.

En optimización, define la función objetivo y su dominio antes de derivar.

Revisa los extremos del intervalo y la derivabilidad en los puntos de empalme.

Independencia: P(A∩B) = P(A)P(B); incompatibles: P(A∩B) = 0.

Binomial: media np y desviación típica √(npq).

np > 5 y nq > 5 es una regla orientativa de aproximación binomial-normal; revisar precisión y corrección ±0,5.

Con σ poblacional conocida y normalidad o aproximación adecuada: IC de la media x̄ ± z·σ/√n; z = 1,96 al 95 %.

Tamaño de muestra: n = (zσ/E)², redondeando siempre hacia arriba.

A bounded non-empty feasible region attains its optimum at a vertex.

Evaluate z at every vertex, including axis intercepts.

x ≥ 0, y ≥ 0 are constraints and add edges to the region.

Ties between two vertices mean the whole edge is optimal.

With feasibility and a finite optimum, strong duality gives equal optimal values; optimal dual variables can supply local shadow prices.

Periodic rate = nominal annual rate ÷ compounding periods per year

Compounded amount: A = P(1 + r/n)^(nt); continuous: A = P·e^(rt)

Successive percent changes multiply, never add

For a positive nominal annual rate r and n > 1 compounding periods, (1 + r/n)^n − 1 exceeds r

n in annuity and loan formulas is the total number of payments

Rule of 72 estimates doubling time as 72 ÷ annual percent rate