Medalló de festa major: octàgon, arcs de 15 mm i el·lipse de muntatge
L'estudi de disseny gràfic rep l'encàrrec del cartell de la festa major. El motiu central és un medalló circular de 60 mm de radi; a dins hi ha d'anar un octàgon regular inscrit en una circumferència de 45 mm de radi i, sobre quatre vèrtexs alterns de l'octàgon, s'han de traçar arcs de 15 mm de radi que han de quedar tangents al cercle exterior. El dissenyador júnior ha traçat els arcs «a ull», ningú no ha comprovat res i el client, un manyà que farà la peça en planxa, vol la plantilla ampliada al 300 %. A més, el client demana un segon motiu amb eixos de 80 × 50 mm que s'ha de muntar sobre un anell circular: com que l'ha de fer amb el compàs, proposa «un oval», però l'anell de muntatge obliga que la corba sigui una el·lipse exacta. El taller no accepta mesures preses damunt del dibuix: només treballa amb les cotes escrites i amb les condicions geomètriques indicades. El pressupost cobreix una sola revisió del motiu central i una de la plantilla.
1. Amb l'octàgon inscrit en una circumferència de 45 mm de radi, calcula el costat i l'apotema i decideix si els arcs de 15 mm centrats en quatre vèrtexs alterns compleixen el requisit de tangència amb el cercle de 60 mm. Indica on és el punt de tangència, si els arcs es toquen entre ells i quin angle forma l'arc amb el costat de l'octàgon en el vèrtex.
Read the worked answer
Dades. R = 45 mm (circumscrit), n = 8, r = 15 mm, R_ext = 60 mm.
- Costat i apotema. s = 2R·sin(180°/8) = 2·45·sin 22,5° = 90·0,38268 = 34,44 mm. a = R·cos 22,5° = 45·0,92388 = 41,57 mm. Comprovació: a = s/(2·tan 22,5°) = 34,44/0,8284 = 41,57 ✓.
- Tangència amb el cercle de 60. El centre de l'arc és el vèrtex V, a 45 mm de O; el punt de l'arc més allunyat de O és a 45 + 15 = 60 mm. Per tant l'arc és interiorment tangent a la circumferència de 60 mm, i el punt de tangència és sobre la recta O–V, a 60 mm de O, perquè en dues circumferències tangents els centres i el punt de contacte sempre són alineats.
- Entre els arcs. Els quatre vèrtexs emprats són alterns: la distància entre dos d'ells és de dos costats, 2 × 34,44 = 68,88 mm, molt més gran que 2r = 30 mm, de manera que no es toquen ni es trepitgen.
- Angle al vèrtex. La recta O–V és la bisectriu de l'angle interior de 135°, així que cada costat forma 67,5° amb O–V. La tangent de l'arc en V és perpendicular a O–V (90°). Angle entre arc i costat = 90° − 67,5° = 22,5°.
Decisió. La condició «tangent al cercle exterior» es compleix, però la unió amb l'octàgon no és tangent: hi ha un cantell de 22,5° a cada vèrtex i l'arc travessa el costat en lloc d'acabar-hi suaument. Si el disseny vol una transició suau cal substituir l'arc per un racó de tangent entre els dos costats (centre a 15/sin 67,5° = 16,24 mm del vèrtex sobre la bisectriu), i aleshores l'arc ja no toca el cercle de 60 mm. Cal triar: o tangència exterior amb cantells, o suavitat interior. La solució més econòmica és mantenir els arcs de 15 mm i documentar el cantell com a recurs gràfic, però això s'ha de decidir ara, no al taller.
2. El segon motiu té eixos de 80 × 50 mm i s'ha de muntar sobre un anell circular. Calcula les dades per traçar-ne l'el·lipse vertadera, explica què faria un oval de quatre centres i decideix quina corba s'ha de dibuixar i com s'ha d'acotar.
Read the worked answer
El·lipse vertadera. Semieixos a = 40 mm i b = 25 mm.
- Semidistància focal: c = √(a² − b²) = √(1600 − 625) = √975 = 31,22 mm; els focus van a ±31,22 mm del centre sobre l'eix major.
- Construcció per corda: corda de longitud 2a = 80 mm clavada als dos focus; en tensar-la i recórrer-la, el llapis descriu l'el·lipse exacta.
- Alternatives: mètode del travesser amb els semieixos marcats, o l'entitat «el·lipse» del CAD (no una spline ni una polilínia de punts).
Què faria un oval de quatre centres. No és una el·lipse: és una corba formada per quatre arcs de circumferència amb només dos radis diferents. Coincideix amb l'el·lipse només als quatre extrems dels eixos i se n'allunya entremig; a més, la curvatura té discontinuïtats als punts d'unió (es passa bruscament d'un radi a l'altre), mentre que a l'el·lipse la curvatura varia de manera contínua. Conseqüència pràctica: no garanteix el contacte amb l'anell circular de muntatge en cap punt intermig, i el joc o la interferència apareixen on ningú no mira.
Decisió. Dibuixar l'el·lipse vertadera i acotar-la pels eixos (80 i 50), no per un radi. L'oval de quatre centres queda reservat a l'esbós ràpid amb compàs i a la conversa amb el client, mai a la plantilla de taller. Si el client insisteix a fer-ho amb compàs, cal advertir-lo per escrit que la peça no ajustarà a l'anell.
3. El taller ampliarà el dibuix al 300 % per fer la plantilla de fusta. Explica què passa amb les mides i amb els gruixos de línia, què s'ha d'escriure al full i per què no es pot mesurar damunt del paper.
Read the worked answer
Què passa en ampliar al 300 %. Totes les longituds dibuixades es multipliquen per 3: R60 → 180 mm, R45 → 135 mm, r15 → 45 mm, costat 34,44 → 103,3 mm; els gruixos de línia 0,25/0,5 → 0,75/1,5 mm. Si el manyà pren mides damunt del paper obté valors tres vegades més grans que els reals.
Què cal fer.
- Totes les dades de construcció han d'anar acotades: 60, 45, 15, 80, 50, i les condicions geomètriques (tangència al cercle de 60, angle de 22,5°, focus a 31,22 mm).
- Al requadre de títol hi ha de constar «plantilla a escala 1:1» o, si s'envia el full ampliat, «ampliació 3:1, sense valor de cota» i la nota «no escalar el dibuix».
- L'ampliació s'ha de fer reimprimint des del CAD, no fotocopiant: la fotocòpia engreixa les línies de manera desigual i trenca la jerarquia ISO 128 (0,5/0,25).
- El material i el diàmetre nominal de la peça han de constar a la llista de materials, no deduïts del dibuix.
Criteri. La cota és l'única informació vàlida; el dibuix només mostra la forma i la disposició. Qualsevol mesura presa sobre el paper és una font d'error, i amb un factor 3 l'error és catastròfic: el medalló sortiria tres vegades més gran i el client ja ha pagat la planxa.