Faristol de museu amb cara superior inclinada: vistes, veritable magnitud i angle diedre
Una empresa de museografia encarrega un faristol per a la sala de lectura. El cos és un prisma de base rectangular de 600 mm d'amplada per 400 mm de fondària, amb cares verticals. La cara superior no és horitzontal: l'aresta davantera és a 300 mm d'altura i la del darrere a 450 mm, de manera que la cara és un pla inclinat. Preneu l'origen a la cantonada de davant a l'esquerra, amb l'eix X cap a la dreta (amplada), Y cap enrere (fondària) i Z vertical. Els vèrtexs de la base són A(0,0,0), B(600,0,0), C(600,400,0), D(0,400,0) i els superiors A'(0,0,300), B'(600,0,300), C'(600,400,450), D'(0,400,450). El client nord-americà envia els plànols en sistema de tercer diedre. El taller de fusteria demana la veritable magnitud de la cara inclinada i l'angle que forma amb el pla horitzontal, perquè vol tallar les peces amb aquestes dades i no amb el transportador sobre el paper.
1. Descriu les tres vistes del faristol (alçat, planta i perfil) i digues quines arestes queden ocultes i si calen línies discontínues. Explica quina vista és imprescindible i per què.
Read the worked answer
Alçat (projecció sobre XZ, mirant en el sentit +Y). Contorn rectangular de 600 × 450 mm; a dins, una línia horitzontal a z = 300 mm que és l'aresta A'B'. Totes dues arestes del pla inclinat (A'B' a 300 i C'D' a 450) són vistes, perquè cap cos no les tapa.
Planta (projecció sobre XY). Rectangle de 600 × 400 mm. Les arestes A'B' i C'D' coincideixen amb les vores del rectangle (y = 0 i y = 400): la planta no aporta cap informació sobre el desnivell. Un prisma recte de 450 mm donaria exactament la mateixa planta. No cal cap línia discontínua.
Perfil (projecció sobre YZ, mirant en el sentit +X). Trapezi de vèrtexs (y, z) = (0, 0), (400, 0), (400, 450), (0, 300). Totes les arestes són vistes; no hi ha arestes ocultes.
Quina vista és imprescindible. El perfil: és l'única vista que mostra el pendent. L'alçat i la planta són insuficients per si sols, i el fet que la planta sigui «neta» no vol dir que el cos sigui senzill: si el taller només rebés l'alçat i la planta podria fabricar un prisma recte de 450 mm i el faristol no compliria la funció. A més, el perfil és la vista on les dues cares inclinades apareixen de cantell i, per tant, on es podran mesurar els angles vertaders.
2. Calcula la veritable magnitud de la cara inclinada A'B'C'D' i l'angle que forma amb el pla horitzontal, i explica el procediment gràfic emprat.
Read the worked answer
Procediment. L'aresta A'B' és paral·lela al pla frontal (XZ) i de fet hi pertany (y = 0). Per tant n'hi ha prou de girar la cara al voltant d'A'B' fins a fer-la coincidir amb el pla frontal: el gir conserva les distàncies i la cara es veu en veritable magnitud a l'alçat. Els costats de 600 mm es conserven perquè són paral·lels a l'eix de gir.
Càlcul.
- Fondària real del pla inclinat (distància entre A'B' i C'D' mesurada sobre la cara): √(400² + 150²) = √(160.000 + 22.500) = √182.500 = 427,2 mm.
- Forma vertadera: rectangle de 600 × 427,2 mm.
- Angle amb l'horitzontal: tan α = 150/400 → α = 20,56°.
Alternativa equivalent. Un canvi de pla amb un pla auxiliar perpendicular a A'B' dona la mateixa fondària vertadera (427,2 mm) i el mateix angle. Els dos resultats han de coincidir; si no coincideixen, l'error és de construcció, no de càlcul.
Per al taller. Cal tallar la peça amb 600 × 427,2 mm i serrar les vores a 20,56°, no a 400 mm de fondària. Escriure 400 mm a la cota de la cara seria un error que obligaria a tallar dues vegades.
3. Determina l'angle diedre entre la cara inclinada i la cara vertical del darrere (y = 400) i digues en quina vista es mesura. Explica també què passaria si el taller llegís el full del client nord-americà amb els hàbits del primer diedre.
Read the worked answer
Angle diedre. Les dues cares comparteixen l'aresta C'D', que és paral·lela a l'eix X. L'angle vertader entre dos plans només es veu en una vista perpendicular a la seva aresta d'intersecció, és a dir, en el perfil (projecció sobre YZ).
- Al perfil, la cara del darrere (y = 400) surt com una recta vertical i la cara inclinada com una recta a 20,56° de l'horitzontal; totes dues estan de cantell.
- Angle diedre = 90° − 20,56° = 69,44°.
- Comprovació vectorial: normal de la cara inclinada (0; −0,375; 1)/1,068 i normal de la cara posterior (0; 1; 0) → cos = 0,375/1,068 = 0,3511 → 69,44° ✓.
- A l'alçat no es pot mesurar: la cara del darrere hi apareix en veritable magnitud (és paral·lela al pla frontal) i no de cantell.
Primer i tercer diedre. El client envia el plànol en tercer diedre: la planta va a sobre de l'alçat i la vista lateral dreta a la dreta. En primer diedre (ISO, Europa) la planta va a sota i la vista lateral dreta a l'esquerra. Si el taller llegeix un full de tercer diedre amb hàbits de primer diedre, el pendent s'interpreta invertit: el costat alt semblaria el de davant i el faristol quedaria inclinat cap al lector. Solució: redibuixar en primer diedre amb el símbol normalitzat o afegir una nota ben visible amb el sistema emprat, i comprovar-ho amb el perfil abans de tallar.