Pantalla troncocònica de llum: desenvolupament, format i pestanya d'unió
Una empresa d'il·luminació encarrega la pantalla troncocònica d'una làmpada: diàmetre inferior 400 mm, diàmetre superior 200 mm i altura 250 mm, en xapa d'alumini de 0,8 mm, amb un sol tall i una pestanya d'unió de 10 mm. El taller vol el desenvolupament a escala 1:1 per a la talladora, i l'operari proposa dibuixar-lo sobre la cara exterior de la xapa i dividir el sector en quatre panells iguals per doblegar-lo. La impressora del despatx només arriba a DIN A2 i el cap de taller assegura que «amb un A2 n'hi ha prou». El termini és d'una setmana i el material s'ha de comandar abans de dos dies, de manera que la decisió sobre el format i sobre el gruix s'ha de prendre ja.
1. Calcula la generatriu del tronc, els radis i l'angle del sector del desenvolupament, i comprova si hi cap en un DIN A2 a escala 1:1. Proposa alternatives si no hi cap.
Read the worked answer
Dades. R = 200 mm (radi inferior), r = 100 mm (radi superior), h = 250 mm.
- Generatriu del tronc: L = √(250² + (200 − 100)²) = √(62.500 + 10.000) = √72.500 = 269,26 mm. L'error habitual és prendre 250 mm, que és l'altura i no la generatriu.
- Vèrtex del con complet: per semblança, S/(S − L) = R/r = 2 → S = 2L = 538,52 mm; el radi interior del sector és S − L = 269,26 mm.
- Angle del sector: θ = 360° · R/S = 360 · 200/538,52 = 133,7°. Comprovació per longitud d'arc: 2π·200 = 1256,6 mm = S·θ → θ = 2,333 rad = 133,7° ✓.
- Desenvolupament: corona circular de radis 269,3 i 538,5 mm i angle 133,7°, amb arc exterior de 1256,6 mm i arc interior de 628,3 mm.
Cap a quina fulla? Caixa envolupant del sector simètric respecte de la vertical: amplada = 2 · 538,52 · sin 66,85° = 990 mm; alçada = 538,52 − 269,26 · cos 66,85° = 538,52 − 105,9 = 432,6 mm. Un A2 (594 × 420) no hi cap a 1:1, i un A1 (841 × 594) tampoc no arriba d'amplada.
Alternatives. (a) DIN A0 (1189 × 841), que sí que hi cap; (b) partir el desenvolupament en dues meitats, amb una costura al darrere i una a cada costat: cada meitat fa 66,85° i ocupa 593 × 314 mm, que entra just en un A2; (c) reduir a 1:2, cosa que el taller no vol perquè perd precisió en la corba. La solució més econòmica és la (b): dues meitats en A2 i una costura més, que a més facilita el corbat.
2. L'operari ha calculat el desenvolupament amb l'altura (250 mm) en lloc de la generatriu. Quantifica l'error i explica per què no es detecta mirant només la circumferència de la base.
Read the worked answer
Càlcul amb h = 250 mm. S' = 2 × 250 = 500 mm i θ = 360 · 200/500 = 144°.
- L'arc exterior continua sent el correcte: 500 · 2,513 rad = 1256,6 mm. És a dir, la circumferència de la base no delata l'error: la peça es tancaria igualment.
- Però la generatriu del tronc seria 250 mm en lloc de 269,26 mm. Amb radis 200 i 100, una generatriu de 250 mm dona una altura real de √(250² − 100²) = 229,1 mm, és a dir, 21 mm menys del demanat, i el con queda més aixafat i amb un pendent diferent del previst.
Per què passa. La superfície del con es genera girant una recta inclinada; la longitud que es desenrotlla és la longitud d'aquesta recta (la generatriu), no la seva projecció vertical. El desenvolupament sempre es mesura sobre la superfície, mai sobre una de les seves projeccions.
Comprovació ràpida. L'arc del sector ha de ser igual al perímetre de la circumferència de la base: 2πR = 1256,6 mm. Si no coincideix, el radi o l'angle són falsos. I, a més, cal comprovar sempre la generatriu amb Pitàgores abans de tallar.
3. Decideix com s'ha de tractar el gruix de 0,8 mm i la pestanya de 10 mm al desenvolupament, amb els valors numèrics que calgui, i quines notes han d'anar al plànol.
Read the worked answer
Gruix de la xapa (0,8 mm). El desenvolupament s'ha de calcular sobre la fibra neutra, no sobre la cara exterior. Si Ø 400 i Ø 200 són exteriors, els diàmetres neutres són 399,2 i 199,2 mm:
- θ = 360 · 199,6/538,3 = 133,4°, pràcticament el mateix angle;
- la diferència pràctica és al perímetre: 2π·200 = 1256,6 mm enfront de 2π·199,6 = 1254,1 mm, és a dir, 2,5 mm. Amb xapa fina i unió reblada o engatxada la diferència és marginal, però amb una costura soldada a tope cal treballar amb la fibra neutra o la peça no tanca. Decisió: acotar el desenvolupament sobre la fibra neutra i indicar-ho amb la nota «desenvolupament calculat sobre fibra neutra, r = 0,4 mm».
Pestanya d'unió de 10 mm. La pestanya és material addicional: no es resta de l'arc de 1256,6 mm, sinó que s'hi afegeix. Si es dibuixa com una franja radial de 10 mm al llarg de la costura, l'arc exterior passa a 1266,6 mm, o sigui +1,06° d'angle al radi exterior (i +2,1° al radi interior, perquè una amplada constant ocupa més angle a radi petit). Per això la pestanya es dibuixa com una franja radial i no com una banda de gruix constant: si és constant, en arrissar-la sobra material a la vora interior i la costura fa bosses.
Notes al plànol. «Escala 1:1», «desenvolupament sobre fibra neutra», «pestanya d'unió 10 mm no inclosa a la longitud d'arc», sentit de la fibra del material i el gruix nominal 0,8 mm. I les generatrius de referència cada 10–15° per controlar el corbat, marcades per la cara interior.