Superfícies, interseccions, desenvolupaments i sòlids geomètrics
Superfícies, interseccions, desenvolupaments i sòlids geomètrics
Aquest domini avalua la comprensió de les superfícies tridimensionals i la seva representació plana: quines es poden desenvolupar, com es troben les interseccions i com es construeix la veritable magnitud d'una secció.
Regles i conceptes clau
- Els poliedres i les superfícies reglades desenvolupables (cilindre, con) es poden estendre sobre un pla sense deformar les cares o les generatrius.
- Les superfícies corbes no desenvolupables (esfera, hiperboloide, parabolide) no tenen desenvolupament exacte; només aproximacions per fusos o triangles.
- La intersecció de dues superfícies es resol trobant punts comuns mitjançant plans auxiliars. Cal dibuixar prou punts, incloent-hi els extrems i els punts de tangència, perquè la corba sigui correcta.
- La veritable magnitud d'una secció s'obté abatent el pla de tall sobre un pla de projecció o amb una vista auxiliar perpendicular al pla de tall.
- En el desenvolupament d'un cilindre recte, la base és el perímetre 2πr i l'altura és la generatriu. En un con recte, el sector circular té radi igual a la generatriu i angle proporcional al radi de la base.
Exemple resolt
Cilindre recte de radi 20 mm i altura 50 mm. El desenvolupament lateral és un rectangle de base 2π·20 ≈ 125,66 mm i altura 50 mm; s'hi afegeixen dos cercles de radi 20 mm per a les bases. Si un pla talla el cilindre obliquament, la secció és una el·lipse: el seu eix menor fa 40 mm (diàmetre) i el major depèn de la inclinació. Per dibuixar-la, es projecten punts de diverses generatrius i es troba la veritable magnitud amb una vista auxiliar. Raonament: el desenvolupament conserva longituds sobre la superfície, però no la forma de la secció; per això cal separar el desenvolupament de la veritable magnitud.
Errors que costen punts
Desenvolupar una esfera com si fos un cilindre; oblidar les bases en el desenvolupament; fer una el·lipse amb quatre punts; no abatre el pla de tall; confondre intersecció amb secció; no indicar la línia de costura; dibuixar generatrius que no siguin rectes en un con; no comprovar la longitud del sector circular.