I85PREP
⌘ K
Catalonia PAU Technical Drawing (Dibuix Tècnic II) study materials
Catalonia PAU Technical Drawing (Dibuix Tècnic II) study resources

Catalonia PAU Technical Drawing (Dibuix Tècnic II) practice questions

One question at a time. Build your Catalonia PAU Technical Drawing (Dibuix Tècnic II) understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una homotècia de centre O i raó k = −2, quina relació hi ha entre un punt P i la seva imatge P'?

  1. O, P i P' formen un triangle isòsceles amb OP = OP'
  2. P' coincideix amb el simètric de P respecte d'una recta que passa per O
  3. O, P i P' són col·lineals, P i P' queden del mateix costat d'O i OP' = 2·OP
  4. O, P i P' són col·lineals, P i P' queden en costats oposats respecte d'O i OP' = 2·OP Correct answer.

Explanation

En una homotècia, el centre O, el punt P i la imatge P' sempre són col·lineals. El signe negatiu de la raó indica que la imatge queda al costat oposat del centre, i el valor absolut 2 fixa la proporció OP' = |k|·OP. Per tant la relació completa és col·linealitat, oposició de costats i doble distància.

Question 2Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina propietat caracteritza una tangència entre una circumferència i una recta en un punt T?

  1. La distància del centre a la recta és més gran que el radi
  2. La recta tangent passa pel centre de la circumferència
  3. El radi OT és perpendicular a la recta tangent en T Correct answer.
  4. La recta talla la circumferència en dos punts molt pròxims

Explanation

En el punt de tangència, el radi que uneix el centre amb T és perpendicular a la recta tangent. Aquesta perpendicularitat és la condició geomètrica que permet construir tangents amb precisió. La distància del centre a la recta tangent és exactament igual al radi.

Question 3Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quantes tangents comunes exteriors tenen dues circumferències exteriors (sense intersecció) de radis diferents?

  1. Tres
  2. Una
  3. Quatre
  4. Dues Correct answer.

Explanation

Dues circumferències exteriors de radis diferents admeten dues tangents comunes exteriors, que no creuen el segment que uneix els centres. Les tangents interiors són dues més, però la pregunta es refereix només a les exteriors. Per tant, la resposta correcta és dues.

Question 4Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el lloc geomètric dels punts del pla des dels quals un segment AB es veu sota un angle de 90°?

  1. L'el·lipse de focus A i B amb eix major AB
  2. Una recta paral·lela a AB a distància AB/2
  3. La circumferència de diàmetre AB, sense els punts A i B Correct answer.
  4. La mediatriu del segment AB

Explanation

El teorema de l'angle inscrit estableix que tot punt d'una circumferència veu un diàmetre sota un angle recte. Per tant, el lloc geomètric és la circumferència que té AB com a diàmetre, excloent-ne els extrems on l'angle no està definit. Aquesta construcció és la base de les tangents per un punt exterior.

Question 5Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una el·lipse, quina relació lliga els semieixos a, b i la semidistància focal c?

  1. a² = b² + c² Correct answer.
  2. c² = a² + b²
  3. a = b + c
  4. b² = a² + c²

Explanation

En l'el·lipse, l'eix major a és la hipotenusa del triangle rectangle format per b i c, de manera que a² = b² + c². Aquesta relació és equivalent a dir que la suma de distàncies als focus és 2a. És la mateixa relació pitagòrica que relaciona focus, vèrtex i semieix menor.

Question 6Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina transformació conserva les distàncies i les formes però pot invertir l'orientació?

  1. Una homotècia de raó 2
  2. Una translació
  3. Una simetria axial Correct answer.
  4. Una semblança de raó 0,5

Explanation

La simetria axial és una isometria que conserva totes les distàncies i angles, però inverteix l'orientació dels polígons. Les translacions també conserven distàncies però mantenen l'orientació. Les homotècies i semblances no conserven les distàncies si la raó no és 1.

Question 7Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el procediment correcte per traçar la bisectriu d'un angle amb compàs i regle?

  1. Traçar la mediatriu del segment determinat pels extrems lliures dels costats
  2. Traçar una perpendicular a un costat des del vèrtex
  3. Unir el vèrtex amb el punt mitjà del segment que uneix els extrems dels costats
  4. Amb centre al vèrtex, marcar dos punts equidistants als costats i traçar arcs que es tallin; unir el vèrtex amb la intersecció Correct answer.

Explanation

La construcció clàssica de la bisectriu consisteix a marcar amb el compàs dos punts a igual distància del vèrtex sobre els costats. Des d'aquests punts es tracen arcs de radi igual que es tallen en un punt interior, i la recta que uneix aquest punt amb el vèrtex és la bisectriu. El mètode garanteix que tots els punts de la recta equidisten dels dos costats.

Question 8Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina corba cònica s'obté en tallar un con de revolució amb un pla paral·lel a una generatriu?

  1. Una hipèrbola
  2. Una circumferència
  3. Una el·lipse
  4. Una paràbola Correct answer.

Explanation

Quan el pla de tall és paral·lel a una generatriu del con, la secció cònica resultant és una paràbola. Aquesta condició equival al fet que l'excentricitat sigui igual a 1. Si el pla fos paral·lel a l'eix, la secció seria una hipèrbola.

Question 9Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Donats dos punts A i B i una recta r, es vol trobar el punt de r que equidista de A i B. Quina construcció és la correcta?

  1. Traçar la circumferència de centre A que passa per B i veure on talla r
  2. Tallar la recta r amb la mediatriu del segment AB Correct answer.
  3. Traçar la perpendicular a r per A i per B i unir les interseccions
  4. Traçar la bisectriu de l'angle que formen les rectes AB i r

Explanation

Els punts que equidisten de A i B formen la mediatriu del segment AB. Per tant, el punt de r que equidista de A i B és la intersecció de r amb aquesta mediatriu. Aquesta intersecció és única si r no és paral·lela a la mediatriu.

Question 10Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Per traçar les tangents a una circumferència des d'un punt exterior P, quin pas és imprescindible?

  1. Construir l'homotècia de centre P i raó 2 de la circumferència
  2. Dibuixar la perpendicular a OP pel centre O
  3. Traçar la mediatriu del radi OP i allargar-la fins a la circumferència
  4. Traçar la circumferència de diàmetre OP, on O és el centre, i tallar-la amb la circumferència donada Correct answer.

Explanation

Els punts de tangència T compleixen que l'angle OTP és recte, perquè el radi OT és perpendicular a la tangent PT. Per tant, T pertany a la circumferència de diàmetre OP. La intersecció d'aquesta circumferència auxiliar amb la donada proporciona els dos punts de tangència.

Question 11Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una homotècia de centre O i raó k = 3/2, un segment AB de longitud 8 cm es transforma en A'B'. Quina longitud té A'B'?

  1. 9,5 cm
  2. 12 cm Correct answer.
  3. 5,33 cm
  4. 16 cm

Explanation

En una homotècia, les longituds es multipliquen pel valor absolut de la raó. Per tant, A'B' = |k|·AB = (3/2)·8 = 12 cm. La relació es manté per a qualsevol segment, independentment de la seva posició respecte del centre.

Question 12Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el valor de l'excentricitat d'una paràbola i què significa geomètricament?

  1. e = 0; tots els punts coincideixen amb el focus
  2. e = 2; la distància al focus és el doble de la distància a la directriu
  3. e = 1; cada punt equidista del focus i de la directriu Correct answer.
  4. e = 0,5; la distància al focus és la meitat de la distància a la directriu

Explanation

La paràbola es defineix com el lloc geomètric dels punts que equidisten del focus i de la directriu, cosa que equival a una excentricitat e = 1. Aquesta igualtat de distàncies és la propietat que permet construir-la punt a punt. Valors d'excentricitat menors que 1 donen el·lipses i majors que 1 donen hipèrboles.

Question 13Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Es vol construir una circumferència tangent a dues rectes que es tallen i que passi per un punt P situat entre elles. Quina estratègia és correcta?

  1. Traçar la perpendicular comuna a les dues rectes i prendre'n el punt mitjà
  2. Situar el centre a la mediatriu del segment entre les interseccions de les rectes
  3. Situar el centre a la bisectriu de l'angle i resoldre la tangència amb P mitjançant una homotècia auxiliar Correct answer.
  4. Construir la circumferència de diàmetre igual a la distància entre les rectes

Explanation

El centre de qualsevol circumferència tangent a les dues rectes ha de pertànyer a la bisectriu de l'angle que formen. Imposar que passi per P converteix el problema en una tangència resolta habitualment amb una homotècia auxiliar que trasllada la condició de pas per P. Així s'obté el centre sobre la bisectriu que compleix les dues condicions.

Question 14Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina és la imatge d'una circumferència de centre C i radi r sota una homotècia de centre O i raó k = −1/2?

  1. Una circumferència de radi 2r i centre C'
  2. Una el·lipse de semieixos r i r/2
  3. Una circumferència de centre C i radi r, perquè la raó és negativa
  4. Una circumferència de centre C' alineat amb O i C, i radi r/2, amb C' a costat oposat d'O Correct answer.

Explanation

Una homotècia transforma circumferències en circumferències, amb el centre imatge alineat amb O i C. El radi es multiplica pel valor absolut de la raó, és a dir, r/2, i el signe negatiu situa C' al costat oposat d'O respecte de C. La forma es conserva perquè l'homotècia és una semblança.

Question 15Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el lloc geomètric dels centres de les circumferències de radi donat R que són tangents a una recta r?

  1. La mediatriu del segment determinat per les tangències sobre r
  2. Una recta paral·lela a r a distància R
  3. Una circumferència de radi R tangent a r
  4. Dues rectes paral·leles a r a distància R, una a cada costat Correct answer.

Explanation

Una circumferència de radi R tangent a r té el centre a distància exactament R de la recta. Aquesta condició es compleix en dues rectes paral·leles a r, una a cada costat, a distància R. Per tant, el lloc geomètric és el parell de paral·leles, no una sola recta.

Question 16Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una el·lipse amb semieix major a = 5 cm i semieix menor b = 3 cm, quina és la distància focal (distància entre focus)?

  1. 16 cm
  2. 2 cm
  3. 8 cm Correct answer.
  4. 4 cm

Explanation

La relació entre semieixos és a² = b² + c², d'on c² = 25 − 9 = 16 i c = 4 cm. La distància focal és la distància entre els dos focus, és a dir, 2c = 8 cm. Cal no confondre la semidistància focal c amb la distància focal completa.

Question 17Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina transformació geomètrica converteix un triangle en un altre de semblant però amb orientació inversa i mida reduïda?

  1. Una simetria central
  2. Una translació seguida d'una rotació
  3. Una simetria axial seguida d'una homotècia de raó menor que 1 Correct answer.
  4. Una homotècia de raó negativa

Explanation

La simetria axial inverteix l'orientació del triangle, i l'homotècia posterior de raó menor que 1 en redueix la mida mantenint la forma. La composició d'una isometria que inverteix orientació amb una homotècia produeix una semblança inversa. Cap de les altres opcions no combina alhora inversió d'orientació i reducció de mida.

Question 18Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Per construir una circumferència tangent a tres rectes que formen un triangle, quants centres possibles hi ha en general?

  1. Quatre: l'incentre i els tres excentres Correct answer.
  2. Tres, un per cada vèrtex
  3. Dos, un per cada costat més llarg
  4. Un de sol, l'incentre

Explanation

Una circumferència tangent a les tres rectes suport dels costats d'un triangle té el centre en una intersecció de bisectrius. Hi ha l'incentre, intersecció de les bisectrius interiors, i tres excentres, interseccions de bisectrius exteriors. Per tant, en general existeixen quatre circumferències tangents a les tres rectes.

Question 19Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el resultat de compondre dues simetries axials amb eixos paral·lels separats una distància d?

  1. Una homotècia de raó d
  2. Una simetria central respecte del punt mitjà entre eixos
  3. Una rotació de 180°
  4. Una translació de vector perpendicular als eixos i mòdul 2d Correct answer.

Explanation

La composició de dues simetries axials d'eixos paral·lels equival a una translació en direcció perpendicular als eixos. El mòdul del vector és el doble de la distància entre els eixos, és a dir, 2d. Aquesta propietat és útil per resoldre problemes de reflexions successives.

Question 20Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una hipèrbola, què representen les asímptotes?

  1. Les rectes que passen pel centre i a les quals la corba s'aproxima sense tallar-les Correct answer.
  2. Les directrius que defineixen l'excentricitat
  3. Els eixos focal i no focal de la corba
  4. Les rectes tangents als vèrtexs

Explanation

Les asímptotes d'una hipèrbola són dues rectes que passen pel centre de la corba i que la branca s'aproxima indefinidament sense arribar a tallar-les. La seva pendent depèn de la relació entre els semieixos a i b. Són una referència essencial per dibuixar la corba amb precisió.

Question 21Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Es dibuixa un arc d'enllaç (concordància) entre una recta i una circumferència amb un radi donat. Quina condició han de complir els centres de l'arc?

  1. Estar a distància igual al radi de la circumferència respecte de la recta
  2. Estar a distància del radi de l'arc respecte de la recta i respecte de la circumferència, sumant o restant radis segons el tipus de tangència Correct answer.
  3. Estar sobre la mediatriu del segment que uneix el punt de tangència amb el centre de la circumferència
  4. Coincidir amb el centre de la circumferència donada

Explanation

Un arc d'enllaç tangent a una recta té el centre en una paral·lela a la recta a distància igual al radi de l'arc. Si és tangent a una circumferència, el centre també ha d'estar a una distància que és la suma o la diferència de radis segons si la tangència és exterior o interior. La intersecció d'aquests llocs geomètrics proporciona el centre de l'arc.

Question 22Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una homotècia de centre O, un triangle ABC es transforma en A'B'C'. Quina afirmació sobre les àrees és certa si la raó és k = −3?

  1. L'àrea es conserva perquè el signe és negatiu
  2. L'àrea es multiplica per 9 Correct answer.
  3. L'àrea es multiplica per −3
  4. L'àrea es multiplica per 3

Explanation

En una homotècia de raó k, les àrees es multipliquen pel quadrat de la raó, és a dir, k². Amb k = −3, el factor és 9, perquè el signe desapareix en elevar al quadrat. Aquesta relació deriva del fet que totes les longituds es multipliquen per |k|.

Question 23Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el lloc geomètric dels punts P tals que la relació de distàncies a dos punts fixos A i B és constant PA/PB = 2, amb A ≠ B?

  1. Una recta perpendicular a AB
  2. La mediatriu del segment AB
  3. Una el·lipse de focus A i B
  4. Una circumferència (circumferència d'Apol·loni) Correct answer.

Explanation

El lloc dels punts amb relació de distàncies constant a dos punts fixos és una circumferència anomenada circumferència d'Apol·loni. El centre se situa sobre la recta AB, en els punts de divisió interna i externa del segment segons la relació donada. Si la relació fos 1, el lloc degeneraria en la mediatriu.

Question 24Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Per dibuixar una el·lipse coneixent els focus F i F' i l'eix major 2a, quin mètode és directe?

  1. Traçar la circumferència de diàmetre FF' i unir punts amb el centre
  2. Dividir l'eix major en segments i, amb centres als focus, traçar arcs de radis iguals a les distàncies a F i F' Correct answer.
  3. Construir la mediatriu de FF' i prendre-hi punts equidistants
  4. Dibuixar les asímptotes i traçar branques simètriques

Explanation

La construcció per punts de l'el·lipse es basa en la definició: la suma de distàncies als focus és 2a. Es pren un punt auxiliar sobre l'eix major i es tracen arcs amb centre a F i F' de radis iguals a les distàncies a aquest punt. Les interseccions dels arcs pertanyen a l'el·lipse.

Question 25Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Es vol resoldre una tangència entre una circumferència donada i una recta r mitjançant una homotècia auxiliar per obtenir una circumferència tangent a r i que passi per un punt P de la circumferència. Quin és el centre de l'homotècia auxiliar més adequat?

  1. El centre de la circumferència donada
  2. El punt P
  3. Un punt qualsevol de r exterior a la circumferència
  4. El punt d'intersecció de r amb la recta que uneix P amb el centre de la circumferència donada Correct answer.

Explanation

En la construcció de tangències per homotècia, el centre d'homotècia és el punt on es tallen les rectes que uneixen punts homòlegs. Aquí, la recta que uneix P amb el centre de la circumferència donada talla r en el centre d'homotècia que relaciona la circumferència donada amb la solució. Aquest punt permet traslladar la condició de tangència i obtenir el centre de la circumferència buscada.

Question 26Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En un arc de circumferència de radi R, quin és el valor de la longitud de l'arc corresponent a un angle central de 90°?

  1. πR/2 Correct answer.
  2. 2πR
  3. πR/4
  4. πR

Explanation

La longitud d'un arc és L = R·θ, amb θ en radians. Un angle de 90° equival a π/2 radians, per tant L = R·π/2. La circumferència completa correspondria a 2πR.

Question 27Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quantes circumferències diferents poden ser tangents a una recta en un punt concret d'aquesta recta?

  1. Dues, una a cada costat de la recta
  2. Només una, de radi prefixat
  3. Cap, si no es fixa també el radi
  4. Infinites, amb els centres sobre la perpendicular a la recta en aquest punt Correct answer.

Explanation

La condició de tangència en un punt imposa que el centre sigui a la perpendicular per aquest punt. El radi pot variar lliurement, de manera que hi ha infinites circumferències, amb centres al llarg d'aquesta perpendicular.

Question 28Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el lloc geomètric dels punts del pla que veuen un segment AB sota un angle de 90°?

  1. La mediatriu del segment AB
  2. La circumferència de diàmetre AB, sense els punts A i B Correct answer.
  3. Dues rectes perpendiculars a AB pels extrems
  4. Una recta paral·lela a AB a distància AB/2

Explanation

Segons el teorema de Tales, qualsevol punt de la circumferència de diàmetre AB forma un angle recte amb els extrems A i B. Els propis punts A i B no generen angle, per això s'exclouen.

Question 29Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina relació hi ha entre l'eix major 2a, l'eix menor 2b i la distància focal 2c d'una el·lipse?

  1. b² = a² + c²
  2. a = b + c
  3. a² = b² + c² Correct answer.
  4. c² = a² + b²

Explanation

A l'el·lipse, el semieix major a és la hipotenusa del triangle rectangle format per b i c. Per tant a² = b² + c², cosa que implica que sempre a > b i a > c.

Question 30Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el resultat de compondre una translació de vector v amb una altra translació de vector w?

  1. Una simetria central
  2. Una rotació d'angle igual a l'angle entre v i w
  3. Una homotècia de raó |v|/|w|
  4. Una translació de vector v + w Correct answer.

Explanation

El grup de translacions és tancat i commutatiu; la composició de dues translacions equival a transladar segons la suma vectorial dels desplaçaments. L'ordre no afecta el resultat.

Question 31Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el valor de l'excentricitat d'una circumferència considerada com a cas límit d'una el·lipse?

  1. 1
  2. 0,5
  3. Infinit
  4. 0 Correct answer.

Explanation

L'excentricitat és e = c/a. En una circumferència els dos focus coincideixen amb el centre, de manera que c = 0 i, per tant, e = 0. És el cas de màxima simetria.

Question 32Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el nombre mínim de dades independents necessàries per determinar completament una circumferència en el pla?

  1. Una
  2. Tres Correct answer.
  3. Quatre
  4. Dues

Explanation

Una circumferència té tres graus de llibertat: les coordenades del centre i el radi. Per això calen tres condicions independents, com ara tres punts no alineats.

Question 33Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina corba s'obté en tallar un con de revolució amb un pla perpendicular a l'eix del con?

  1. Una el·lipse no circular
  2. Una hipèrbola
  3. Una paràbola
  4. Una circumferència Correct answer.

Explanation

Quan el pla de tall és perpendicular a l'eix del con, la secció és simètrica respecte de l'eix i resulta una circumferència. Si el pla s'inclina sense arribar a ser paral·lel a una generatriu, s'obté una el·lipse.

Question 34Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Es vol construir una circumferència tangent a dues rectes paral·leles r i s. On ha de situar-se el centre?

  1. En el punt mitjà del segment comprès entre r i s sobre una perpendicular
  2. Sobre la recta paral·lela mitjana entre r i s Correct answer.
  3. Sobre qualsevol de les dues rectes donades
  4. Sobre una perpendicular comuna qualsevol

Explanation

Per ser tangent a dues paral·leles, el centre ha d'equidistar de totes dues, és a dir, ha de pertànyer a la recta paral·lela mitjana. El radi queda fixat com la meitat de la distància entre r i s.

Question 35Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una rotació de centre O i angle 120°, quantes rotacions successives del mateix angle calen perquè un punt torni a la posició inicial?

  1. Quatre
  2. Sis
  3. Dues
  4. Tres Correct answer.

Explanation

La rotació completa és de 360°; dividint 360° entre 120° s'obté 3. Així, tres rotacions de 120° equivalen a una volta sencera i retornen el punt al lloc de partida.

Question 36Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Donada una circumferència de centre O i radi R, i un punt P exterior, quina és la longitud de la tangent PT des de P?

  1. OP − R
  2. √(OP² − R²) Correct answer.
  3. R·OP/2
  4. OP + R

Explanation

El radi OT és perpendicular a la tangent PT en el punt de tangència, formant un triangle rectangle OPT. Aplicant Pitàgores, PT² = OP² − R², d'on s'obté l'expressió indicada.

Question 37Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una homotècia de centre O i raó k, quina relació hi ha entre una recta r i la seva imatge r'?

  1. Coincideixen sempre
  2. Es tallen sempre en el centre O
  3. Són paral·leles si r no passa per O Correct answer.
  4. Són perpendiculars

Explanation

L'homotècia conserva les direccions, de manera que una recta que no passa pel centre es transforma en una recta paral·lela. Només les rectes que passen per O són invariants com a conjunt.

Question 38Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Es dibuixa un oval format per quatre arcs de circumferència tangents entre si. Quina condició han de complir els centres dels arcs en els punts d'enllaç?

  1. Els centres han de coincidir
  2. Els centres han de formar un rectangle
  3. Els centres i el punt d'enllaç han d'estar alineats Correct answer.
  4. Els radis han de ser iguals

Explanation

Perquè dos arcs de circumferència siguin tangents en un punt, els seus centres i aquest punt de tangència han d'estar alineats sobre la recta que uneix els centres. Aquesta alineació garanteix la continuïtat de la corba.

Question 39Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el lloc geomètric dels centres de les circumferències que passen per dos punts fixos A i B?

  1. La recta AB
  2. La circumferència de diàmetre AB
  3. Una recta perpendicular a AB en A
  4. La mediatriu del segment AB Correct answer.

Explanation

Si una circumferència passa per A i B, el seu centre equidista de tots dos punts. El lloc dels punts equidistants de A i B és precisament la mediatriu del segment AB.

Question 40Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una el·lipse, quina propietat compleix qualsevol punt P de la corba respecte dels focus F i F'?

  1. PF − PF' = 2a
  2. PF · PF' = a²
  3. PF + PF' = 2a Correct answer.
  4. PF = PF' sempre

Explanation

L'el·lipse es defineix com el lloc dels punts la suma de distàncies als focus és constant i igual a l'eix major 2a. Aquesta és la propietat que permet construir-la amb cordill o amb el mètode dels punts.

Question 41Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina transformació geomètrica deixa invariant una recta r punt per punt?

  1. La translació de vector paral·lel a r
  2. La simetria axial respecte de r Correct answer.
  3. La simetria central respecte d'un punt de r
  4. La rotació de 180° al voltant d'un punt de r

Explanation

En una simetria axial respecte de l'eix r, cada punt de r és el seu propi simètric, de manera que la recta queda fixa punt per punt. Les altres transformacions desplacen els punts de r.

Question 42Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Es vol traçar una circumferència tangent a una recta r en un punt T i que passi per un punt exterior P. Quin és el centre?

  1. La intersecció de la perpendicular a r per T amb la mediatriu de PT Correct answer.
  2. La intersecció de r amb la mediatriu de PT
  3. El punt mitjà del segment PT
  4. La intersecció de la perpendicular a r per T amb la recta PT

Explanation

La tangència en T obliga que el centre sigui a la perpendicular a r per T. Que passi per T i P obliga que equidisti de tots dos, és a dir, que estigui a la mediatriu de PT. La intersecció dona el centre únic.

Question 43Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quina és la imatge d'una recta que passa pel centre d'una homotècia de raó k ≠ 1?

  1. La mateixa recta Correct answer.
  2. Una recta paral·lela diferent
  3. Un punt
  4. Una recta perpendicular

Explanation

Qualsevol punt d'una recta que passa pel centre O té la seva imatge sobre la mateixa recta, ja que la transformació el desplaça al llarg de la línia que uneix el punt amb O. Per tant, la recta és invariant com a conjunt.

Question 44Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el procediment per traçar la tangent a una paràbola en un punt P de la corba, coneixent l'eix i el focus F?

  1. La tangent passa sempre pel vèrtex de la paràbola
  2. La tangent és la bisectriu de l'angle format pel radi vector PF i la paral·lela a l'eix per P Correct answer.
  3. La tangent és paral·lela a l'eix de la paràbola
  4. La tangent és perpendicular al radi vector PF

Explanation

La propietat focal de la paràbola estableix que la tangent en P biseca l'angle entre el segment PF i la recta paral·lela a l'eix que passa per P. Aquesta construcció dona la direcció tangent sense necessitat de càlcul.

Question 45Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una hipèrbola, quina relació hi ha entre les asímptotes i la corba quan el punt s'allunya cap a l'infinit?

  1. La corba s'aproxima indefinidament a les asímptotes sense tallar-les Correct answer.
  2. La corba és paral·lela a les asímptotes a distància constant
  3. La corba talla les asímptotes en dos punts
  4. Les asímptotes són tangents a la corba en els vèrtexs

Explanation

Les asímptotes són les rectes que determinen la direcció de les branques de la hipèrbola a l'infinit. La distància entre la corba i l'asímptota tendeix a zero, però la hipèrbola no arriba a tallar-les mai.

Question 46Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Es compon una simetria axial d'eix vertical amb una simetria axial d'eix horitzontal que es tallen en un punt O. Quin és el resultat?

  1. Una rotació de 90° al voltant de O
  2. Una homotècia de raó −1
  3. Una simetria central de centre O Correct answer.
  4. Una translació

Explanation

La composició de dues simetries axials amb eixos perpendiculars equival a una rotació de 180° al voltant del punt d'intersecció, que és exactament una simetria central de centre O. El gir de 180° inverteix l'orientació com la simetria central.

Question 47Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una el·lipse, quina és la relació entre l'angle de la tangent en un punt P i els radis vectors PF i PF'?

  1. La tangent coincideix amb un dels radis vectors
  2. La tangent és paral·lela a l'eix major
  3. La tangent és perpendicular a la bisectriu de l'angle FPF'
  4. La tangent biseca l'angle exterior format per PF i PF' Correct answer.

Explanation

La propietat focal de l'el·lipse diu que la tangent en P forma angles iguals amb els dos radis vectors, bisecant l'angle exterior. Això explica la reflexió dels raigs des d'un focus cap a l'altre.

Question 48Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Es vol construir una circumferència tangent a una circumferència donada de centre O i radi R, i que passi per un punt P exterior, amb radi r conegut. Quina condició ha de complir el centre C?

  1. La distància CO ha de ser r
  2. La distància CO ha de ser sempre R
  3. La distància CO ha de ser R − r sempre
  4. La distància CO ha de ser R + r o |R − r| segons el tipus de tangència Correct answer.

Explanation

Si la tangència és exterior, la distància entre centres és la suma dels radis, R + r; si és interior, és la diferència |R − r|. Ambdues condicions defineixen sengles circumferències concèntriques on es troba C, que després es tallen amb la circumferència de centre P i radi r.

Question 49Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

Quin és el resultat de compondre una homotècia de centre O i raó k amb una altra homotècia de centre O i raó m?

  1. Una simetria central si k ≠ m
  2. Una homotècia de centre O i raó k + m
  3. Una translació de vector proporcional a k − m
  4. Una homotècia de centre O i raó k·m Correct answer.

Explanation

Les homotècies de mateix centre formen un grup respecte de la composició, i les raons es multipliquen. Així, aplicar successivament k i m equival a aplicar directament el producte k·m respecte del mateix centre O.

Question 50Plane geometry: constructions, tangencies, conic curves and transformations

En una paràbola, quina és la relació entre la distància d'un punt P a la directriu i la distància PF al focus?

  1. Són iguals per definició de paràbola Correct answer.
  2. No hi ha cap relació constant
  3. La distància a la directriu és la meitat de PF
  4. La distància a la directriu és el doble de PF

Explanation

La paràbola es defineix com el lloc dels punts que equidisten del focus i de la directriu. Per tant, per a qualsevol punt P de la corba, la distància a la directriu coincideix amb PF. Aquesta igualtat permet construir-la punt a punt.