Geometria plana: construccions, tangències, corbes còniques i transformacions
La geometria plana és el bloc on es comprova si domines la construcció amb regla i compàs a partir de dades mínimes, la resolució de tangències i el traçat de còniques i transformacions. Els enunciats solen donar poques dades (dues rectes, un radi, dos eixos) i exigeixen el traçat complet amb tots els punts de tangència assenyalats.
Construccions i proporcionalitat
- Arc capaç d'angle α sobre un segment AB: es traça per A una recta que formi α amb AB, se li aixeca la perpendicular per A i on aquesta talla la mediatriu d'AB hi ha el centre de l'arc.
- Divisió d'un segment en n parts iguals pel teorema de Tales, mitjana proporcional (catet d'un triangle rectangle) i secció àuria, base del pentàgon regular donat el costat.
Tangències
- El centre d'una circumferència tangent a una recta és a distància r de la recta; si és tangent a una circumferència de centre O i radi R, el centre buscat és sobre la recta de centres a distància R+r (tangència exterior) o |R−r| (interior).
- El punt de tangència es determina, no s'estima: és el peu de la perpendicular a la recta o el punt de la recta de centres.
- Per reducció homotètica, sumar o restar el radi converteix «tangent a circumferència» en «tangent a un punt», i el problema es resol amb les tangents des d'un punt.
Còniques
- El·lipse: PF₁+PF₂ = 2a, amb a² = b²+c²; circumferència principal (radi a) i focal (radi 2a, centre en un focus).
- Paràbola: PF = distància a la directriu. Hipèrbola: |PF₁−PF₂| = 2a.
- Tangent en un punt M de l'el·lipse: la perpendicular a la bisectriu de l'angle F₁MF₂.
- Tangents des d'un punt P exterior: circumferència de centre P i radi PF₂ tallada amb la focal de F₁; cada punt M obtingut dóna una tangent, mediatriu de F₂M.
Transformacions
Translació, gir i simetria conserven formes i mides; l'homotècia de centre O i raó k conserva direccions (amb k<0, homotècia inversa); la inversió compleix OA·OA' = k² i transforma una recta que no passa per O en una circumferència que passa per O; l'homologia plana ve donada per centre, eix i recta límit, amb parells de punts alineats amb el centre.
Exemple resolt
El·lipse d'eix major 80 mm i menor 50 mm; cal la tangent en un punt M. Amb a = 40 i b = 25, c = √(40²−25²) = √975 ≈ 31,2 mm: els focus es marquen a 31,2 mm del centre sobre l'eix major. S'uneix M amb F₁ i F₂, es traça la bisectriu de l'angle i, per M, la perpendicular: aquesta és la tangent. La comprovació és que la tangent forma angles iguals amb els dos radis vectors.
Errors que costen punts
- No assenyalar el punt de tangència o situar-lo fora de la recta de centres.
- Confondre la circumferència focal (2a) amb la principal (a).
- Fer servir la bisectriu interior en lloc de l'exterior a la tangent de l'el·lipse.
- Donar una sola solució quan n'hi ha dues (tangents des d'un punt exterior).
- Esborrar els traçats auxiliars quan l'enunciat en demana constància.