Geometria descriptiva: punt, recta i pla; interseccions i projeccions dièdriques
La geometria descriptiva avalua si saps representar i resoldre elements a l'espai mitjançant el sistema dièdric de primer diedre (pla horitzontal PH i pla vertical PV), obtenir vertaderes magnituds i calcular interseccions i perpendicularitats.
El punt i la recta
- Un punt queda determinat per la cota (distància a PH) i l'allunyament (distància a PV). Conveni de notació: P′ és la planta (projecció horitzontal) i P″ és l'alçat (projecció vertical); a l'alçat es llegeix la cota i a la planta l'allunyament.
- La planta es dibuixa sempre per sota de l'alçat; la línia de terra LT separa tots dos plans.
- Traces d'una recta: la traça horitzontal h és on la recta talla PH (cota zero) i la vertical v on talla PV (allunyament zero); les seves projeccions cauen sobre LT.
- Rectes notables: horitzontal (alçat paral·lel a LT), frontal (planta paral·lela a LT), vertical (planta reduïda a un punt), de punta (alçat reduït a un punt) i les de màxima pendent, perpendiculars a les horitzontals del pla.
Vertadera magnitud
Pel mètode del triangle rectangle: sobre la projecció horitzontal d'un segment s'aixeca la diferència de cotes i la hipotenusa és la vertadera magnitud. També s'obté per gir o per abatiment.
El pla i les seves traces
- Un pla es defineix per les traces α₁ (sobre PH) i α₂ (sobre PV), que es tallen a LT. Plans projectants (vertical, horitzontal, de perfil) tenen una projecció degenerada en forma de recta; el pla paral·lel a LT té les dues traces paral·leles a LT.
- Per contenir punts en un pla qualsevol s'utilitzen les seves rectes notables: horitzontals i frontals del pla.
Interseccions
- Recta-pla: es fa passar per la recta un pla auxiliar projectant; la intersecció d'aquest amb el pla donat és una recta que talla la recta inicial en el punt buscat.
- Pla-pla: els punts on es tallen les traces homònimes (α₁∩β₁ i α₂∩β₂) defineixen la recta intersecció; si les traces homònimes són paral·leles, la intersecció és paral·lela a elles, i si ho són totes dues, els plans són paral·lels.
- Perpendicularitat: una recta és perpendicular a un pla quan les seves projeccions són perpendiculars a les traces homònimes i a les rectes notables del pla.
Exemple resolt
Donat el pla α i un punt P, cal l'horitzontal h del pla que passa per P. Raonament: tota horitzontal té l'alçat paral·lel a LT i la mateixa cota, per tant per P″ es traça la paral·lela a LT fins a tallar α₂, que dóna v″; es baixa perpendicularment a LT fins a v′ i per v′ es traça la paral·lela a α₁, que és h′. Comprovació: h′ ha de passar exactament per P′; si no hi passa, s'ha intercanviat cota i allunyament.
Errors que costen punts
- Intercanviar cota i allunyament o dibuixar la planta per sobre de l'alçat.
- Confondre la traça d'una recta amb la seva projecció sobre LT.
- No allargar les traces quan la intersecció cau fora del paper (cal un pla auxiliar).
- Fer servir rectes qualssevol en lloc de rectes notables del pla per situar-hi punts.
- Obtenir una intersecció sense comprovar que el punt pertany a tots dos elements.