Superfícies i sòlids: poliedres, superfícies de revolució, seccions i desenvolupaments
Aquest bloc demana dominar la representació de sòlids, obtenir seccions planes amb la seva vertadera magnitud i desenvolupar superfícies en el pla, incloent-hi les corbes que resulten de tallar cilindres i cons.
Poliedres
- Regulars: tetraedre (4 cares), hexaedre o cub (6), octaedre (8), dodecaedre (12) i icosaedre (20); compleixen la fórmula d'Euler V − A + C = 2.
- Representació: una cara recolzada sobre PH dóna la planta en vertadera magnitud; si el cub recolza sobre una aresta, l'alçat dóna un rectangle de base e i altura e√2.
- Les arestes perpendiculars a un pla de projecció es veuen com un punt en aquella vista.
Seccions
- La secció d'un poliedre per un pla és el polígon format per les interseccions del pla amb les cares; els vèrtexs són talls amb arestes.
- Amb un pla projectant la secció surt directament en una vista; la vertadera magnitud s'obté per abatiment sobre la traça o per canvi de pla.
- Cilindre: el·lipse si el pla talla totes les generatrius; rectangle si és paral·lel a l'eix; circumferència si és perpendicular.
- Con: el·lipse (talla totes les generatrius), paràbola (pla paral·lel a una generatriu) i hipèrbola (pla paral·lel a l'eix).
Desenvolupaments
- Prisma: un rectangle per cara lateral (amplada = aresta, altura = altura del prisma) més les bases.
- Cilindre: rectangle de base 2πr i altura h.
- Con recte: sector circular de radi igual a la generatriu g i angle α = 360°·r/g; en el tronc de con, el desenvolupament és una corona circular.
- L'esfera no és desenvolupable; es treballa per fusos. Cal indicar sempre la costura i comprovar que totes les cares hi són.
Exemple resolt
Con recte de r = 30 mm i h = 40 mm. La generatriu és g = √(30²+40²) = 50 mm i l'angle del sector α = 360·30/50 = 216°, amb radi 50 mm. Comprovació d'àrea: π·r·g = π·30·50 ≈ 4.712 mm², igual que π·50²·216/360. Per a la secció d'un cilindre de radi 20 mm per un pla a 45° de l'eix: l'eix menor és el diàmetre, 40 mm, i l'eix major és 40/cos 45° ≈ 56,6 mm.
Errors que costen punts
- Desenvolupar una esfera o una superfície reglada no desenvolupable.
- Oblidar les bases o no marcar la línia de costura.
- Fer servir l'altura en lloc de la generatriu al desenvolupament del con.
- Dibuixar la secció només al contorn del sòlid i no a les cares interiors.
- Confondre la secció (superfície de tall) amb la vista de la peça tallada.