PAU Matemáticas II (Extremadura) cheat sheet

Rouché–Frobenius decide el tipo de sistema comparando r(A) y r(A*) con el número de incógnitas.

Cramer exige det(A) ≠ 0; si se anula, hay que discutir por casos.

A⁻¹ = C(A)ᵀ/det(A), con C(A) matriz de cofactores y det(A) ≠ 0; comprueba A·A⁻¹ = I.

En AX = B se multiplica por la izquierda; en XA = B, por la derecha.

Un sistema compatible indeterminado se responde con su solución paramétrica, no solo con la etiqueta.

Producto mixto nulo ⇔ los tres vectores son coplanarios.

|u×v| da áreas; |[u,v,w]| da volúmenes.

Ángulo recta-plano = 90° − ángulo(recta, normal).

Distancia punto-plano: |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²).

Recta contenida en plano: al sustituir la recta se obtiene una identidad.

L'Hôpital solo después de verificar 0/0 o ∞/∞.

f'(x) = 0 no garantiza extremo: hace falta cambio de signo.

Bolzano justifica la existencia de raíces con cambio de signo en un intervalo cerrado.

En optimización, define la función objetivo y su dominio antes de derivar.

Revisa los extremos del intervalo y la derivabilidad en los puntos de empalme.

Barrow: ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a), con F primitiva de f.

El área entre curvas usa los cortes como límites y la curva superior menos la inferior.

Volumen alrededor de OX: V = π∫ y² dx.

Con hueco, usa π∫(f² − g²) dx, no π∫(f − g)² dx.

Al sustituir en una integral definida hay que cambiar también los límites.

Independencia: P(A∩B) = P(A)P(B); incompatibles: P(A∩B) = 0.

Binomial: media np y desviación típica √(npq).

np > 5 y nq > 5 es una regla orientativa de aproximación binomial-normal; revisar precisión y corrección ±0,5.

Con σ poblacional conocida y normalidad o aproximación adecuada: IC de la media x̄ ± z·σ/√n; z = 1,96 al 95 %.

Tamaño de muestra: n = (zσ/E)², redondeando siempre hacia arriba.