Cálculo diferencial: límites, continuidad, derivadas y optimización
El cálculo diferencial permite estudiar límites, continuidad con parámetros, rectas tangentes y optimización. En esta práctica independiente se justifican hipótesis, dominio y resultados, sin atribuir una distribución de preguntas a una convocatoria concreta.
Límites y continuidad
- Indeterminaciones 0/0, ∞/∞, ∞−∞ y 1^∞; L'Hôpital exige una forma 0/0 o ∞/∞ y las hipótesis del teorema: derivabilidad en el entorno pertinente, derivada del denominador no nula y existencia del límite del cociente de derivadas, posiblemente infinito. Se derivan numerador y denominador por separado.
- f es continua en x = a si existe f(a) y lim f(x) = f(a). Con parámetros, se imponen los límites laterales en el punto de empalme.
- Teorema de Bolzano: f continua en [a,b] con f(a)·f(b) < 0 ⇒ existe c con f(c) = 0. Sirve para justificar raíces.
Derivadas
- Reglas de producto, cociente y cadena; derivación implícita cuando la curva viene dada por una ecuación.
- Recta tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a); la normal tiene pendiente −1/f'(a) si f'(a) ≠ 0.
- Derivable ⇒ continua; el recíproco es falso (|x| en x = 0).
Aplicaciones
- Monotonía por el signo de f'; hay extremo relativo si f' se anula y cambia de signo. El signo de f'' permite estudiar la concavidad donde existe; un punto de inflexión requiere un cambio de concavidad.
- Asíntotas: verticales donde algún límite lateral de la función es infinito, no en cualquier discontinuidad; horizontales u oblicuas se estudian con límites en ±∞.
- Optimización: definir la función objetivo con una sola variable y su dominio real, resolver f'(x) = 0 y justificar máximo o mínimo.
Ejemplo resuelto
Cercar un campo rectangular con 100 m de valla apoyado en un río (solo tres lados). Con x + 2y = 100 y A = xy = x(100 − x)/2, derivando A' = 50 − x = 0 ⇒ x = 50, y = 25, A = 1250 m². Como A'' = −1 < 0, es un máximo.
Errores que cuestan puntos
- Aplicar L'Hôpital fuera de una indeterminación.
- Ignorar el dominio del problema de optimización.
- No comprobar la derivabilidad en los puntos de empalme.
- Evaluar solo los puntos críticos y olvidar los extremos del intervalo cerrado.
- Dar f'(x) = 0 como prueba suficiente de extremo.