Plan semanal de producción en un taller de serigrafía
El taller de serigrafía Marex, en Vigo, produce dos referencias: sudaderas (x) y camisetas (y). La plancha admite 4 800 minutos de trabajo a la semana; cada sudadera consume 20 minutos de plancha y cada camiseta 10 minutos. El almacén admite 300 unidades semanales entre las dos referencias. Existe además un compromiso firmado con una peña deportiva: cada semana hay que entregar al menos 50 camisetas, que se venden con total seguridad. El beneficio unitario es de 12 € por sudadera y 7 € por camiseta, y todo lo que se produce se vende. La responsable del taller quiere cerrar el plan de la próxima semana y ha recibido una oferta del taller vecino: alquilarle 6 horas semanales de plancha por 150 € a la semana. Antes de firmar nada, necesita saber cuál es su plan óptimo actual, cuánto vale realmente una hora de plancha en su situación concreta y si la oferta le compensa o no.
1. Formula el problema (variables, restricciones y función objetivo), representa la región factible y calcula las coordenadas de todos sus vértices.
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Variables: x = sudaderas semanales, y = camisetas semanales.
Restricciones:
- Plancha: 20x + 10y ≤ 4 800 → simplificando, 2x + y ≤ 480.
- Almacén: x + y ≤ 300.
- Compromiso con la peña: y ≥ 50.
- No negatividad: x ≥ 0, y ≥ 0.
Objetivo: maximizar B(x, y) = 12x + 7y.
Vértices. Se cortan las rectas frontera dos a dos y se comprueba que cada punto cumple todas las restricciones:
- x = 0 con y = 50 → A(0, 50). Cumple 2·0 + 50 = 50 ≤ 480 y 0 + 50 ≤ 300.
- y = 50 con 2x + y = 480 → 2x = 430 → x = 215 → B(215, 50). Cumple 215 + 50 = 265 ≤ 300.
- 2x + y = 480 con x + y = 300 → restando: x = 180, y = 120 → C(180, 120).
- x + y = 300 con x = 0 → D(0, 300). Cumple 2·0 + 300 = 300 ≤ 480.
La región es el cuadrilátero A-B-C-D. Conviene comprobar que el punto (0, 300) es factible pese a parecer extremo: la plancha solo limita cuando x > 0, y con x = 0 el almacén es la restricción activa.
2. Determina el plan de producción óptimo y el beneficio semanal máximo, evaluando la función objetivo en los vértices.
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Se evalúa B(x, y) = 12x + 7y en cada vértice:
- A(0, 50): B = 0 + 350 = 350 €.
- B(215, 50): B = 2 580 + 350 = 2 930 €.
- C(180, 120): B = 2 160 + 840 = 3 000 €.
- D(0, 300): B = 0 + 2 100 = 2 100 €.
El máximo es 3 000 €, en C(180, 120): 180 sudaderas y 120 camisetas por semana.
Interpretación económica: en el óptimo están activas las dos restricciones «grandes» (plancha y almacén), mientras que la del compromiso no aprieta, porque se producen 120 camisetas frente a las 50 exigidas. Obsérvese que el vértice B(215, 50) queda muy cerca en beneficio (2 930 €): si el compromiso con la peña fuese de 60 camisetas en lugar de 50, el plan óptimo cambiaría de vértice. Ese detalle es relevante porque la decisión es sensible a restricciones que en principio parecían menores.
3. El taller vecino ofrece 6 horas semanales de plancha por 150 €. ¿Le conviene aceptar? ¿Hasta cuántas horas adicionales se mantiene válido ese cálculo?
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Se relaja la restricción de plancha en t unidades de la restricción simplificada, es decir, en 10t minutos: 2x + y ≤ 480 + t. El nuevo vértice es el corte con x + y = 300:
2x + y = 480 + t; x + y = 300 → x = 180 + t, y = 120 − t.
El beneficio es B(t) = 12(180 + t) + 7(120 − t) = 3 000 + 5t. Cada unidad de restricción (10 minutos) aporta 5 €, es decir, 30 € por hora de plancha.
Las 6 horas son 360 minutos = 36 unidades → ganancia extra = 36 · 5 = 180 €. Como el alquiler cuesta 150 €, el beneficio neto es +30 € semanales: conviene aceptar, aunque el margen es pequeño y cualquier subida del alquiler por encima de 180 € rompería la decisión.
Validez: el cálculo exige que y = 120 − t ≥ 50 → t ≤ 70, esto es, 700 minutos ≈ 11 h 40 min semanales. Más allá de ese punto el vértice salta a la recta y = 50 y el almacén bloquea la producción (x no puede pasar de 250), de modo que las horas extra dejarían de aportar beneficio.