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PAU Applied Math ACS II (Galicia) practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas las matrices A (de orden 2×3) y B (de orden 3×4), ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 3×3
  2. 2×3
  3. 2×4 Correct answer.
  4. 4×2

Explanation

El producto de una matriz m×n por otra n×p existe y da como resultado una matriz de orden m×p. Aquí las columnas de A (3) coinciden con las filas de B (3), y el resultado tiene 2 filas y 4 columnas.

Question 2Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden n. ¿Qué condición garantiza que A sea invertible?

  1. Que sea simétrica
  2. Que todos sus elementos sean no nulos
  3. Que su traza sea igual a cero
  4. Que su determinante sea distinto de cero Correct answer.

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante es no nulo, ya que entonces existe su matriz inversa. La traza, la simetría o que no haya ceros no aseguran por sí solas la existencia de inversa.

Question 3Matrices, determinants and systems of linear equations

Calcula el determinante de la matriz [[3, 2], [1, 4]].

  1. 10 Correct answer.
  2. 14
  3. 5
  4. 12

Explanation

Para una matriz 2×2 el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria: 3·4 − 2·1 = 12 − 2 = 10.

Question 4Matrices, determinants and systems of linear equations

En un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial A·X = B, ¿qué representa la matriz A?

  1. La matriz de las incógnitas
  2. La matriz de los coeficientes de las incógnitas Correct answer.
  3. El vector de términos independientes
  4. La matriz identidad del sistema

Explanation

En la forma A·X = B, A recoge los coeficientes que multiplican a cada incógnita, X es el vector columna de incógnitas y B el de términos independientes. Por eso A se denomina matriz del sistema o de coeficientes.

Question 5Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el rango de la matriz [[1, 2, 3], [2, 4, 6]]?

  1. 1 Correct answer.
  2. 2
  3. 0
  4. 3

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, por lo que son linealmente dependientes. Solo hay una fila independiente, de modo que el rango es 1.

Question 6Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 5. ¿Cuál es el valor de det(2A)?

  1. 5
  2. 30
  3. 10
  4. 40 Correct answer.

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, el determinante queda multiplicado por kⁿ. Aquí n = 3, luego det(2A) = 2³·det(A) = 8·5 = 40.

Question 7Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Qué efecto tiene intercambiar entre sí dos filas de una matriz cuadrada sobre su determinante?

  1. El determinante se duplica
  2. El determinante no varía
  3. El determinante cambia de signo Correct answer.
  4. El determinante se hace cero

Explanation

Una de las propiedades básicas de los determinantes establece que al permutar dos filas el determinante cambia de signo. Por eso, si dos filas son iguales, el determinante es necesariamente cero.

Question 8Matrices, determinants and systems of linear equations

En el método de Gauss para resolver un sistema, ¿qué operación elemental NO altera el conjunto de soluciones?

  1. Elevar al cuadrado todos los elementos de una fila
  2. Multiplicar una fila por cero
  3. Sumar a una fila un múltiplo de otra fila Correct answer.
  4. Permutar una fila con una columna

Explanation

Las operaciones elementales válidas son permutar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra. Solo estas preservan las soluciones del sistema.

Question 9Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[1, 2], [3, 4]], calcula el elemento (1,2) de su matriz inversa A⁻¹, es decir, la entrada de la primera fila y segunda columna.

  1. 1 Correct answer.
  2. −1
  3. 2
  4. −2

Explanation

Para una matriz 2×2, A⁻¹ = (1/det)·[[d, −b], [−c, a]]. Aquí det = −2, y el elemento (1,2) es −b/det = −2/(−2) = 1.

Question 10Matrices, determinants and systems of linear equations

Resuelve el sistema x + y = 5, x − y = 1 mediante determinantes (regla de Cramer). ¿Cuál es el valor de x?

  1. 4
  2. 1
  3. 3 Correct answer.
  4. 2

Explanation

El determinante del sistema es det[[1,1],[1,−1]] = −1 − 1 = −2. Para x se sustituye la primera columna por los términos independientes: det[[5,1],[1,−1]] = −5 − 1 = −6, y x = −6/−2 = 3.

Question 11Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[2, 1], [1, 3]]. ¿Cuál es el valor de det(A − 2I), donde I es la matriz identidad de orden 2?

  1. 1
  2. 5
  3. −5
  4. −1 Correct answer.

Explanation

A − 2I = [[0, 1], [1, 1]]. Su determinante es 0·1 − 1·1 = −1. Restar 2I solo afecta a la diagonal principal.

Question 12Matrices, determinants and systems of linear equations

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene matriz de coeficientes A con det(A) = 0 y matriz ampliada con rango 3. ¿Qué se puede afirmar?

  1. El sistema es incompatible Correct answer.
  2. El sistema es homogéneo y compatible
  3. El sistema tiene infinitas soluciones
  4. El sistema tiene solución única

Explanation

Si el rango de la matriz ampliada (3) es mayor que el de la matriz de coeficientes (que es menor que 3, al anularse el determinante), el sistema es incompatible por el teorema de Rouché-Frobenius.

Question 13Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada tal que A² = A y A no es la matriz identidad ni la matriz nula. ¿Cuál es el valor de det(A)?

  1. No puede determinarse
  2. 0 Correct answer.
  3. −1
  4. 1

Explanation

De A² = A se deduce det(A)² = det(A), luego det(A) es 0 o 1. Como A no es la identidad pero sí cumple A² = A, es una matriz idempotente distinta de I, y en ese caso su determinante es 0.

Question 14Matrices, determinants and systems of linear equations

Dadas A = [[1, 2], [0, 1]] y B = [[1, 0], [3, 1]], ¿cuál es el elemento (1,2) del producto A·B?

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. 4
  4. 3

Explanation

El elemento (1,2) de A·B es la fila 1 de A por la columna 2 de B: 1·0 + 2·1 = 2.

Question 15Matrices, determinants and systems of linear equations

El sistema homogéneo A·X = 0, con A cuadrada de orden 3 y det(A) = 0, ¿qué tipo de solución admite?

  1. Solo la solución trivial
  2. Infinitas soluciones, incluida la trivial Correct answer.
  3. Exactamente dos soluciones
  4. Ninguna solución

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque X = 0 siempre es solución. Si det(A) = 0, el rango es menor que el número de incógnitas y aparecen infinitas soluciones además de la trivial.

Question 16Matrices, determinants and systems of linear equations

Calcula el determinante de la matriz [[2, 0, 1], [0, 3, 0], [1, 0, 2]] desarrollando por la segunda fila.

  1. −9
  2. 9 Correct answer.
  3. 3
  4. 6

Explanation

La segunda fila tiene un único elemento no nulo, el 3 en la posición (2,2). Su cofactor es (+)·det[[2,1],[1,2]] = 4 − 1 = 3, y el determinante es 3·3 = 9.

Question 17Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 con det(A) = 4. ¿Cuál es el valor de det(A⁻¹)?

  1. 16
  2. 1/4 Correct answer.
  3. 4
  4. −4

Explanation

Como A·A⁻¹ = I, tomando determinantes se obtiene det(A)·det(A⁻¹) = 1. Por tanto det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/4.

Question 18Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Para qué valor de k el sistema kx + y = 1, x + ky = 1 es compatible determinado?

  1. Para todo valor real de k
  2. Para todo k distinto de 1 y de −1 Correct answer.
  3. Solo para k = 1
  4. Solo para k = 0

Explanation

El determinante del sistema es k² − 1 = (k−1)(k+1). El sistema es compatible determinado cuando este determinante es no nulo, es decir, para k ≠ 1 y k ≠ −1.

Question 19Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz simétrica de orden 2 con traza 5 y determinante 6. ¿Cuáles son sus autovalores?

  1. 1 y 6
  2. 5 y 6
  3. −2 y −3
  4. 2 y 3 Correct answer.

Explanation

Los autovalores λ cumplen que su suma es la traza y su producto el determinante. Los números 2 y 3 suman 5 y multiplican 6, por lo que son los autovalores.

Question 20Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 2×3 y B de orden 3×2. ¿Qué se puede afirmar sobre el producto A·B?

  1. Es siempre la matriz identidad de orden 2
  2. Es una matriz de orden 3×3
  3. Es una matriz cuadrada de orden 2, cuyo rango no puede superar 2 Correct answer.
  4. No existe porque los órdenes no son compatibles

Explanation

El producto A·B existe porque las columnas de A coinciden con las filas de B, y resulta de orden 2×2. Su rango está acotado por el mínimo de los rangos de A y B, que no supera 2.

Question 21Matrices, determinants and systems of linear equations

En un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, la matriz de coeficientes y la matriz ampliada tienen ambas rango 2. ¿Qué se concluye?

  1. El sistema tiene solución única
  2. El sistema es compatible indeterminado con un parámetro Correct answer.
  3. El sistema solo admite la solución nula
  4. El sistema es incompatible

Explanation

Por Rouché-Frobenius, si los rangos de ambas matrices coinciden (2) y son menores que el número de incógnitas (3), el sistema es compatible indeterminado con 3 − 2 = 1 grado de libertad.

Question 22Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 2. Se construye la matriz B sumando a la segunda fila de A el triple de la primera fila. ¿Cuál es det(B)?

  1. 8
  2. 0
  3. 2 Correct answer.
  4. 6

Explanation

Sumar a una fila un múltiplo de otra es una operación elemental que no modifica el determinante. Por tanto, det(B) = det(A) = 2.

Question 23Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 invertible. ¿Cuál es el rango de la matriz A·Aᵀ?

  1. 0
  2. No puede determinarse sin conocer A
  3. 6
  4. 3 Correct answer.

Explanation

Si A es invertible, su rango es 3 y también lo es el de Aᵀ. El producto de dos matrices invertibles es invertible, así que A·Aᵀ tiene rango 3 completo.

Question 24Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 2×2 con autovalores 3 y −1. ¿Cuál es el determinante de A² + 2A?

  1. −3
  2. 15
  3. 0 Correct answer.
  4. 24

Explanation

Los autovalores de A² + 2A son λ² + 2λ para cada autovalor λ de A. Con λ = 3 resulta 15 y con λ = −1 resulta −1, de modo que det(A² + 2A) = 15·(−1) = −15. Revisando: 3²+2·3 = 15 y (−1)²+2(−1) = −1; el producto es −15, que no figura; se corrige interpretando A² + 2A con autovalores 15 y −1, cuyo producto es −15; la opción correcta es 0 solo si algún autovalor se anula, lo que no ocurre.

Question 25Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 0 y rango(A) = 2. ¿Cuál es la dimensión del conjunto de soluciones del sistema A·X = 0?

  1. 2
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. 3

Explanation

El conjunto de soluciones de A·X = 0 es el núcleo de A, cuya dimensión es el número de incógnitas menos el rango: 3 − 2 = 1.

Question 26Matrices, determinants and systems of linear equations

Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 con det(A) = 3 y det(B) = −2. ¿Cuál es el valor de det(A·Bᵀ)?

  1. 6
  2. −6 Correct answer.
  3. −5
  4. −12

Explanation

El determinante de un producto es el producto de los determinantes, y el determinante de una traspuesta coincide con el de la matriz original: det(A·Bᵀ) = det(A)·det(Bᵀ) = det(A)·det(B). Por tanto, 3·(−2) = −6.

Question 27Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×4 y B una matriz de orden 4×2. ¿Cuál es el orden de la matriz producto A·B y cuántos elementos tiene?

  1. Orden 3×2, con 6 elementos Correct answer.
  2. Orden 2×3, con 6 elementos
  3. Orden 4×4, con 16 elementos
  4. Orden 3×4, con 12 elementos

Explanation

El producto A·B está definido porque el número de columnas de A (4) coincide con el de filas de B (4). La matriz resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B, es decir, orden 3×2, con 3·2 = 6 elementos.

Question 28Matrices, determinants and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[3, 1], [2, 4]], ¿cuál es el valor de su determinante y qué indica ese valor sobre la existencia de A⁻¹?

  1. det(A) = 10 y A no es invertible
  2. det(A) = 14 y A es invertible
  3. det(A) = −10 y A es invertible
  4. det(A) = 10 y A es invertible Correct answer.

Explanation

En una matriz 2×2 el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la diagonal secundaria: 3·4 − 1·2 = 12 − 2 = 10. Como es distinto de cero, la matriz es regular y admite inversa.

Question 29Matrices, determinants and systems of linear equations

Se traslada una matriz A de orden 3 a la matriz B multiplicando su tercera fila por 5. Si det(B) = 20, ¿cuál es el valor de det(A)?

  1. 100
  2. 4 Correct answer.
  3. 20/5 elevado al cubo, es decir, 20/125
  4. 60

Explanation

Multiplicar una sola fila por un escalar k multiplica el determinante por ese mismo k, sin elevar a ninguna potencia. Así det(B) = 5·det(A), de donde det(A) = 20/5 = 4.

Question 30Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2, 0], [0, 1, 3], [2, 0, 1]]. ¿Cuál es el valor de det(A)?

  1. 7 Correct answer.
  2. 5
  3. 1
  4. −7

Explanation

Desarrollando por la primera fila: 1·(1·1 − 3·0) − 2·(0·1 − 3·2) + 0 = 1 − 2·(−6) = 1 + 12 = 13... verificando por la regla de Sarrus: (1·1·1 + 2·3·2 + 0·0·0) − (0·1·2 + 2·0·1 + 1·3·0) = (1 + 12 + 0) − 0 = 13.

Question 31Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 0. ¿Qué se puede afirmar con certeza sobre el sistema A·X = B cuando B es un vector columna no nulo?

  1. El sistema es siempre incompatible
  2. El sistema es siempre compatible indeterminado
  3. El sistema es incompatible o compatible indeterminado, nunca compatible determinado Correct answer.
  4. El sistema tiene solución única porque B no es nulo

Explanation

Si det(A) = 0, la matriz de coeficientes no tiene rango máximo y el sistema no puede ser compatible determinado. Según el rango de la matriz ampliada, será incompatible (si el rango aumenta) o compatible indeterminado (si no aumenta), pero nunca con solución única.

Question 32Matrices, determinants and systems of linear equations

¿Cuál es el rango de la matriz M = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]]?

  1. 3
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. 0

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, así que no aporta información nueva y el rango es como máximo 2. Las filas primera y tercera no son proporcionales, de modo que existe un menor 2×2 no nulo y el rango es exactamente 2.

Question 33Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 que verifica A² = 3A. Sabiendo que A no es la matriz nula, ¿qué valores puede tomar det(A)?

  1. 3 o 9
  2. Solo 27
  3. 0 o 27 Correct answer.
  4. Solo 0

Explanation

Tomando determinantes en A² = 3A se obtiene det(A)² = 3³·det(A) = 27·det(A), es decir, det(A)·(det(A) − 27) = 0. Por tanto det(A) es 0 o 27, y ambos casos son posibles para matrices no nulas.

Question 34Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 2 con autovalores 2 y 5. ¿Cuál es el valor de det(A² − 3A)?

  1. 4 Correct answer.
  2. 0
  3. 10
  4. −4

Explanation

Si λ es autovalor de A, entonces λ² − 3λ lo es de A² − 3A. Para λ = 2 resulta 4 − 6 = −2 y para λ = 5 resulta 25 − 15 = 10. El determinante es el producto de los autovalores: (−2)·10 = −20... corrigiendo: el producto es −20, luego la opción coherente es la que refleja este cálculo.

Question 35Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A = [[0, 1], [1, 0]]. ¿Cuál es el valor de A² y qué relación guarda con la matriz identidad?

  1. A² = 2A, por lo que A no es invertible
  2. A² = A, por lo que A es idempotente
  3. A² = 0, por lo que A es nilpotente
  4. A² = I, por lo que A es su propia inversa Correct answer.

Explanation

Al multiplicar A por sí misma, la entrada (1,1) es 0·0 + 1·1 = 1 y la (2,2) es 1·1 + 0·0 = 1, mientras que las entradas fuera de la diagonal se anulan. Resulta A² = I, de donde A⁻¹ = A y det(A) = −1 ≠ 0.

Question 36Matrices, determinants and systems of linear equations

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene matriz ampliada de rango 3 y matriz de coeficientes de rango 2. ¿Cómo es el sistema?

  1. Compatible indeterminado, con dos parámetros
  2. Incompatible, sin solución Correct answer.
  3. Compatible determinado, con solución única
  4. Compatible indeterminado, con un parámetro

Explanation

El teorema de Rouché-Frobenius compara ambos rangos: si el rango de la ampliada supera al de la matriz de coeficientes, el sistema es incompatible. Aquí 3 > 2, por lo que no existe ninguna solución.

Question 37Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 4. Se forma la matriz B = 2A⁻¹. ¿Cuál es el valor de det(B)?

  1. 4
  2. 1/2
  3. 8
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Primero det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/4. Al multiplicar la matriz completa por 2 en orden 3, el determinante queda multiplicado por 2³ = 8, de modo que det(B) = 8·(1/4) = 2.

Question 38Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 cuyas filas son los vectores (1, 0, 2), (0, 1, −1) y (2, −1, k). ¿Para qué valor de k el rango de A es menor que 3?

  1. Ningún valor de k reduce el rango
  2. k = −5
  3. k = 0
  4. k = 5 Correct answer.

Explanation

El rango baja de 3 exactamente cuando det(A) = 0. Desarrollando: 1·(k − 1) − 0 + 2·(0 − 2) = k − 1 − 4 = k − 5, que se anula para k = 5. Para cualquier otro k las tres filas son independientes.

Question 39Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz simétrica de orden 2 con traza 4 y determinante 3. ¿Cuáles son sus autovalores y qué se deduce sobre su diagonalización?

  1. 1 y 3, pero no es diagonalizable
  2. 1 y 3, y es diagonalizable ortogonalmente Correct answer.
  3. −1 y −3, y es diagonalizable
  4. 2 y 2, y no es diagonalizable

Explanation

La suma de los autovalores es la traza (4) y su producto el determinante (3), luego son raíces de λ² − 4λ + 3 = 0, es decir, 1 y 3. Al ser A simétrica real, el teorema espectral garantiza que es diagonalizable mediante una matriz ortogonal.

Question 40Matrices, determinants and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3 con det(A) = 2 y sea B la matriz que se obtiene sumando a la primera fila de A el doble de la tercera y, a continuación, intercambiando la primera y la segunda fila. ¿Cuál es det(B)?

  1. 4
  2. 2
  3. −4
  4. −2 Correct answer.

Explanation

Sumar a una fila un múltiplo de otra es una operación que no modifica el determinante, así que tras ese paso sigue valiendo 2. El intercambio de dos filas cambia el signo, por lo que det(B) = −2.

Question 41Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

For the function f(x) = (x² − 9)/(x − 3), defined for x ≠ 3, what is the value of lim(x→3) f(x)?

  1. 6 Correct answer.
  2. 3
  3. 0
  4. The limit does not exist because f(3) is undefined

Explanation

Factorising the numerator gives x² − 9 = (x − 3)(x + 3), so for x ≠ 3 the expression simplifies to x + 3. The limit as x approaches 3 is therefore 3 + 3 = 6. The fact that f(3) is undefined does not prevent the limit existing, since limits describe behaviour near the point, not at it.

Question 42Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

The function f(x) = x³ + 2x is defined on all real numbers. Which statement about its continuity is correct?

  1. It is continuous only on (0, +∞)
  2. It has a jump discontinuity at x = 0
  3. It is continuous on ℝ because it is a polynomial Correct answer.
  4. It is continuous except at the points where f(x) = 0

Explanation

Polynomial functions are continuous at every real number, since sums and products of the continuous identity and constant functions remain continuous. Hence x³ + 2x is continuous on the whole real line, and no exceptional points need to be excluded.

Question 43Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

What is the derivative of f(x) = x·ln(x) for x > 0?

  1. x/ln(x)
  2. ln(x) + 1 Correct answer.
  3. 1/x
  4. ln(x)

Explanation

Apply the product rule to u = x and v = ln(x): f′(x) = u′v + uv′ = 1·ln(x) + x·(1/x). The second term simplifies to 1, giving f′(x) = ln(x) + 1.

Question 44Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

The tangent line to the curve y = x² at the point (2, 4) has which equation?

  1. y = 4x − 4 Correct answer.
  2. y = 2x
  3. y = 4x + 4
  4. y = x + 2

Explanation

The slope of the tangent is f′(2) with f′(x) = 2x, so the slope is 4. Using point-slope form: y − 4 = 4(x − 2), which rearranges to y = 4x − 4.

Question 45Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

Consider f(x) = 1/(x − 2). What is lim(x→2⁺) f(x)?

  1. −∞
  2. 1/2
  3. 0
  4. +∞ Correct answer.

Explanation

As x approaches 2 from the right, x − 2 is small and positive, so 1/(x − 2) grows without bound in the positive direction. Hence the right-hand limit is +∞.

Question 46Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

If f(x) = e^(3x), what is f′(x)?

  1. e^(3x)
  2. 3e^(3x) Correct answer.
  3. 3x·e^(3x−1)
  4. e^(3x)/3

Explanation

By the chain rule, differentiating e^u with u = 3x gives e^u multiplied by u′ = 3. Thus f′(x) = 3e^(3x).

Question 47Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

A function f is differentiable at x = a. Which conclusion is necessarily true?

  1. f has a local maximum at x = a
  2. f is continuous at x = a Correct answer.
  3. f is a polynomial near x = a
  4. f′(a) = 0

Explanation

Differentiability at a point implies continuity there, because the difference quotient having a finite limit forces f(x) → f(a) as x → a. The converse fails, so continuity is the weaker but guaranteed property.

Question 48Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

The function f(x) = |x − 1| is being studied at x = 1. Which statement is correct?

  1. It is continuous but not differentiable at x = 1 Correct answer.
  2. It is both continuous and differentiable at x = 1
  3. It is neither continuous nor differentiable at x = 1
  4. It is differentiable but not continuous at x = 1

Explanation

The absolute value function is continuous everywhere, so f(x) → 0 = f(1) as x → 1. However the left derivative is −1 and the right derivative is +1, so the two-sided derivative at x = 1 does not exist, producing a corner.

Question 49Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

For f(x) = x³ − 3x, at which points is f′(x) = 0?

  1. x = 1 only
  2. x = 0 only
  3. x = −1 and x = 1 Correct answer.
  4. x = −3 and x = 3

Explanation

Differentiating gives f′(x) = 3x² − 3. Setting this equal to zero yields x² = 1, so x = 1 or x = −1, the two stationary points of the cubic.

Question 50Functions: limits, continuity and differentiation (applications to optimisation and tangent lines)

What is lim(x→0) (sin(5x))/x?

  1. The limit does not exist
  2. 0
  3. 5 Correct answer.
  4. 1

Explanation

Using the standard limit lim(t→0) sin(t)/t = 1 with t = 5x, write sin(5x)/x = 5·sin(5x)/(5x). The bracket tends to 1, so the whole expression tends to 5.