Tres productos, tres ingredientes: el reparto semanal de un obrador
Un obrador artesano de Santiago elabora tres referencias para cafeterías: tartas de queso (x), empanadas (y) y bandejas de bollos (z), medidas en unidades, unidades y bandejas. Cada lunes recibe un pedido fijo de materias primas que debe consumir íntegramente esa misma semana, porque son perecederas: 40 kg de harina, 26 kg de azúcar y 30 kg de mantequilla. El consumo por unidad es el siguiente: una tarta necesita 2 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla; una empanada, 1 kg de harina, nada de azúcar y 1 kg de mantequilla; una bandeja de bollos, 1 kg de harina, 2 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. La dueña quiere saber cuántas unidades de cada referencia puede elaborar exactamente con el pedido de esta semana. Además, la distribuidora de azúcar le plantea dos escenarios: entregar 34 kg en lugar de 26 (cobrando 24 € más a la semana) o entregar una cantidad k de kg. El margen es de 8 € por tarta, 5 € por empanada y 4 € por bandeja.
1. Plantea el sistema de ecuaciones, comprueba que tiene solución única calculando el determinante de la matriz de coeficientes y resuélvelo razonando el método empleado.
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Planteamiento (x tartas, y empanadas, z bandejas):
- Harina: 2x + y + z = 40
- Azúcar: x + 2z = 26
- Mantequilla: x + y + z = 30
Determinante de A = [[2,1,1],[1,0,2],[1,1,1]]:
|A| = 2·(0·1 − 2·1) − 1·(1·1 − 2·1) + 1·(1·1 − 0·1) = 2·(−2) − 1·(−1) + 1·(1) = −4 + 1 + 1 = −2 ≠ 0.
Como |A| ≠ 0, el sistema es compatible determinado: solución única.
Resolución por eliminación (más rápida que la inversa): restando la tercera ecuación a la primera se elimina y y z: (2x + y + z) − (x + y + z) = 40 − 30 → x = 10. Sustituyendo en la segunda: 10 + 2z = 26 → z = 8. Y en la tercera: 10 + y + 8 = 30 → y = 12.
Comprobación: 2·10 + 12 + 8 = 40 ✓; 10 + 2·8 = 26 ✓; 10 + 12 + 8 = 30 ✓.
Plan semanal: 10 tartas, 12 empanadas y 8 bandejas. Si se hubiese usado la matriz inversa, el resultado sería idéntico: A⁻¹b con b = (40, 26, 30)ᵗ.
2. Si la distribuidora entrega k kg de azúcar en lugar de 26, expresa la producción en función de k e indica para qué valores de k el plan es viable.
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El sistema pasa a ser:
2x + y + z = 40; x + 2z = k; x + y + z = 30.
El determinante de la matriz de coeficientes no cambia (|A| = −2 ≠ 0), así que para cada k hay solución única; no aparecen casos de incompatibilidad ni de infinitas soluciones.
Restando la tercera ecuación a la primera: x = 40 − 30 = 10 (independiente de k). Entonces, de la segunda: 10 + 2z = k → z = (k − 10)/2. Y de la tercera: y = 30 − 10 − z = 20 − (k − 10)/2 = (50 − k)/2.
Viabilidad (todas las cantidades no negativas):
- z ≥ 0 → k ≥ 10.
- y ≥ 0 → k ≤ 50.
- x = 10 > 0 siempre.
Por tanto, k ∈ [10, 50]. Con k = 26 se recupera (10, 12, 8). Con k = 10 se obtendría (10, 20, 0): el obrador dejaría de hacer bollos. Con k = 50 se obtendría (10, 0, 20): desaparecerían las empanadas. Fuera de ese intervalo el modelo deja de tener sentido económico aunque el sistema siga teniendo solución matemática.
3. Con k = 34 la distribuidora cobra 24 € más a la semana. ¿Le interesa a la dueña aceptar el cambio? Compáralo con el beneficio del pedido actual.
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Beneficio actual con (10, 12, 8): B = 10·8 + 12·5 + 8·4 = 80 + 60 + 32 = 172 €.
Con k = 34: z = (34 − 10)/2 = 12; y = (50 − 34)/2 = 8. El nuevo plan es (10, 8, 12) y su margen bruto es B = 80 + 40 + 48 = 168 €.
Es decir, el mayor suministro de azúcar obliga a sustituir empanadas (5 € de margen) por bandejas de bollos (4 €), porque la harina y la mantequilla siguen limitadas y el azúcar solo no abre ninguna posibilidad nueva. El margen bruto baja 4 € y, encima, el proveedor cobra 24 € más: el resultado empeora en 28 € semanales.
Conclusión: rechazar. Nótese que el razonamiento no cambia si el obrador pudiera tirar el azúcar sobrante: mantendría el plan (10, 12, 8), pero seguiría pagando 24 € por un insumo que no necesita. Un recurso solo tiene valor cuando es el que limita la producción; aquí el azúcar ya estaba agotándose, pero los otros dos recursos impiden aprovechar más cantidad.