¿Cuántos lotes conviene envasar? Beneficio marginal y área bajo la curva
Una conservera de A Coruña dedicada a la conserva de mejillón ha modelizado su beneficio diario en función del número x de lotes envasados (cada lote son 100 latas). El estudio de costes concluye que el beneficio marginal, en euros por lote, sigue B′(x) = 1 200 − 3x² para 0 ≤ x ≤ 25, y que los costes fijos diarios ascienden a 4 000 €, de modo que B(x) = 1 200x − x³ − 4 000. La planta trabaja un solo turno, con capacidad para 25 lotes diarios. La directora financiera tiene tres dudas: cuál es el nivel de producción que maximiza el beneficio, cuánto mejoraría aproximadamente el beneficio si se pasara de 10 a 11 lotes sin recalcular todo el modelo, y si el área bajo la curva del beneficio marginal significa lo mismo que el beneficio. Además, una normativa municipal podría limitar el turno a 15 lotes, y quiere saber cuánto le costaría.
1. Calcula el nivel de producción que maximiza el beneficio diario y el beneficio máximo. Justifica que se trata de un máximo y compáralo con los extremos del intervalo.
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Se busca el punto crítico anulando la derivada:
B′(x) = 1 200 − 3x² = 0 → x² = 400 → x = 20 (la raíz x = −20 se descarta por el dominio 0 ≤ x ≤ 25).
Justificación: B″(x) = −6x → B″(20) = −120 < 0, luego en x = 20 hay un máximo relativo. Como B′ > 0 en [0, 20) y B′ < 0 en (20, 25], es creciente antes y decreciente después: máximo absoluto en el intervalo.
Valor: B(20) = 1 200·20 − 20³ − 4 000 = 24 000 − 8 000 − 4 000 = 12 000 € diarios.
Extremos del intervalo: B(0) = −4 000 € (solo se cubren costes fijos) y B(25) = 30 000 − 15 625 − 4 000 = 10 375 €. Ambos son inferiores a 12 000 €, lo que confirma que el óptimo es interior, no de esquina. Interpretación: por debajo de 20 lotes la planta no cubre bien sus costes fijos; por encima, el coste marginal crece más deprisa que el ingreso y cada lote adicional destruye beneficio.
2. Obtén la recta tangente a B(x) en x = 10 y utilízala para estimar B(11). Compara con el valor exacto y valora la calidad de la estimación.
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Punto de tangencia: B(10) = 1 200·10 − 10³ − 4 000 = 12 000 − 1 000 − 4 000 = 7 000 €.
Pendiente: B′(10) = 1 200 − 3·100 = 900 €/lote. Significa que, produciendo 10 lotes, un lote adicional aumenta el beneficio en unos 900 €.
Recta tangente: y = 7 000 + 900(x − 10).
Estimación en x = 11: y = 7 000 + 900·1 = 7 900 €.
Valor exacto: B(11) = 1 200·11 − 11³ − 4 000 = 13 200 − 1 331 − 4 000 = 7 869 €.
El error es de 31 € sobre 7 869 €, un 0,39 %: la aproximación lineal es excelente en un entorno pequeño de x = 10. El error es por exceso, como corresponde a una función cóncava (B″(10) = −60 < 0), cuya tangente queda siempre por encima de la curva. La conclusión práctica es que la derivada sirve para decisiones marginales, pero el error crece si se usa la tangente para saltos grandes: para x = 15 la estimación lineal daría 11 500 € frente a los 10 625 € reales.
3. Calcula el área comprendida entre la curva B′(x) y el eje horizontal entre x = 0 y x = 20 e interprétala. ¿Qué ocurriría si la normativa limitase la producción a 15 lotes?
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Área: como B′(x) ≥ 0 en [0, 20], el área pedida es la integral definida:
∫₀²⁰ (1 200 − 3x²) dx = [1 200x − x³]₀²⁰ = (24 000 − 8 000) − 0 = 16 000.
Interpretación: es la suma de los beneficios marginales de los 20 lotes, es decir, el margen total generado (ingresos menos costes variables). No coincide con el beneficio porque faltan los costes fijos: 16 000 − 4 000 = 12 000 € = B(20). Por el teorema fundamental del cálculo, el área entre 0 y 20 es exactamente B(20) − B(0) = 12 000 − (−4 000) = 16 000.
Con límite de 15 lotes: B(15) = 1 200·15 − 15³ − 4 000 = 18 000 − 3 375 − 4 000 = 10 625 €, frente a los 12 000 € del óptimo. La pérdida es de 1 375 € diarios (un 11,5 %). El área entre 15 y 20, ∫₁₅²⁰ (1 200 − 3x²) dx = 16 000 − (18 000 − 3 375) = 1 375, cuantifica exactamente esa pérdida: los lotes 16 a 20 siguen aportando margen positivo aunque el marginal sea decreciente.