Control de calidad en una planta embotelladora: dos líneas y el peso del envase
Una planta embotelladora de aguas minerales de Verín tiene dos líneas de envasado. La línea A produce el 55 % de la producción diaria (botellas de 1 L) y la línea B el 45 % restante (botellas de 1,5 L). El histórico de control de calidad indica que la línea A genera un 2 % de botellas defectuosas (etiqueta mal colocada o tapón defectuoso) y la línea B un 5 %. Al final del turno se toma una botella al azar del almacén. Por otro lado, el protocolo vigente rechaza un lote de 15 botellas si aparece en él al menos una defectuosa, y la dirección sospecha que ese criterio genera demasiados rechazos. Además, el peso neto de las botellas de 1 L sigue una distribución normal de media 1 005 mL y desviación típica 8 mL, con un mínimo legal de 990 mL. La empresa quiere revisar el protocolo y decidir si ajusta la llenadora.
1. Calcula la probabilidad de que una botella elegida al azar sea defectuosa y la probabilidad de que, siendo defectuosa, proceda de la línea B. Explica el razonamiento con un árbol de probabilidades.
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Sucesos: A = «procede de la línea A», B = «procede de la línea B», D = «es defectuosa». Datos: P(A) = 0,55; P(B) = 0,45; P(D|A) = 0,02; P(D|B) = 0,05.
Árbol: primera rama, línea de origen (0,55 / 0,45); segunda rama, defectuosa o correcta (0,02 y 0,98 en A; 0,05 y 0,95 en B).
Probabilidad total: P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) = 0,55·0,02 + 0,45·0,05 = 0,011 + 0,0225 = 0,0335 (3,35 %).
Bayes: P(B|D) = P(B)·P(D|B) / P(D) = 0,0225 / 0,0335 = 0,6716 (67,2 %). Complementariamente, P(A|D) = 0,011 / 0,0335 = 0,3284 (32,8 %).
Lectura de gestión: la línea B fabrica menos botellas (45 %) pero concentra dos de cada tres defectos. Si se quiere reducir el defecto global, la actuación debe centrarse en B: eliminar su sobredefecto (bajarla al 2 %) llevaría P(D) a 0,55·0,02 + 0,45·0,02 = 0,02, una mejora de 1,35 puntos porcentuales; actuar solo sobre A apenas movería la aguja.
2. Calcula la probabilidad de que un lote de 15 botellas de la línea B sea rechazado por el protocolo y valora si el criterio es razonable.
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Sea X = número de botellas defectuosas en el lote de 15 de la línea B. Entonces X ~ Bi(15; 0,05).
El protocolo rechaza si X ≥ 1: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,95¹⁵ = 1 − 0,4633 = 0,5367.
Es decir, más de la mitad de los lotes se rechazan aunque la línea funcione exactamente como está diseñada. El criterio confunde «lote malo» con «lote con una botella mala», algo inevitable con un 5 % de defectos: la probabilidad de no encontrar ninguna defectuosa en 15 extracciones es solo del 46,3 %.
Alternativa razonable: rechazar con dos o más defectuosas. P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 − 0,4633 − 15·0,05·0,95¹⁴ = 1 − 0,4633 − 0,3658 = 0,1709. El porcentaje de rechazos baja al 17,1 % sin dejar pasar los lotes verdaderamente problemáticos. La decisión correcta pasa por fijar el criterio en función del nivel de defectos aceptable, no por exigir cero defectos, que es estadísticamente inviable.
3. ¿Qué proporción de botellas de 1 L está por debajo del mínimo legal? ¿En cuánto habría que subir la media para que solo el 0,5 % quedara por debajo?
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Sea X ~ N(1 005; 8) el peso neto en mL.
Tipificación: P(X < 990) = P(Z < (990 − 1 005)/8) = P(Z < −1,875) = P(Z > 1,875).
Con las tablas, Φ(1,875) ≈ 0,9696, luego P(X < 990) ≈ 0,0304, es decir, un 3,04 % de botellas por debajo del mínimo legal. Sobre una producción de, por ejemplo, 200 000 botellas diarias, serían unas 6 080 botellas no conformes.
Ajuste de la media: se busca μ tal que P(X < 990) = 0,005, esto es, P(Z < (990 − μ)/8) = 0,005. El valor crítico es z = −2,5758 (el percentil 0,5 de la normal tipificada, ya que Φ(2,5758) = 0,995).
(990 − μ)/8 = −2,5758 → μ = 990 + 2,5758·8 = 1 010,6 mL.
Habría que subir la media unos 5,6 mL por botella. La decisión no es gratuita: ese sobrellenado se paga en cada unidad producida. El cálculo correcto consiste en comparar el coste del producto vertido de más con el coste esperado de las botellas rechazadas y de la sanción administrativa; el examen no fija ese precio, pero la comparación es la que debe guiar el ajuste, no la simple eliminación del riesgo.