Publicidad y ventas en una cadena de diez tiendas
La cadena de tiendas de informática Nortexport tiene diez establecimientos en Galicia. La dirección ha recogido los datos del último trimestre: inversión en publicidad local (x, en miles de euros) y ventas (y, en miles de euros). Los pares (x, y) son: (2, 24), (3, 30), (4, 32), (5, 38), (6, 40), (7, 45), (8, 47), (9, 49), (10, 54) y (11, 57). El comité comercial quiere saber hasta qué punto la publicidad explica las ventas, cuánto cabría esperar que vendiera una tienda que invirtiera 12 000 € y si tiene sentido planificar con esa misma recta una inversión de 20 000 €. Además, una tienda de otra provincia, con 11 000 € de publicidad, vendió 52 000 €, cifra que el director regional considera anómala y quiere contrastar con el modelo. Se pide trabajar con expresiones poblacionales (dividiendo entre n).
1. Calcula la media y la desviación típica de ambas variables, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. Interpreta el valor obtenido.
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Medias: Σx = 65 → x̄ = 6,5; Σy = 416 → ȳ = 41,6.
Desviaciones típicas: Σx² = 505 → σx² = 505/10 − 6,5² = 50,5 − 42,25 = 8,25 → σx = 2,872. Σy² = 18 344 → σy² = 1 834,4 − 41,6² = 1 834,4 − 1 730,56 = 103,84 → σy = 10,190.
Covarianza: Σxy = 2·24 + 3·30 + 4·32 + 5·38 + 6·40 + 7·45 + 8·47 + 9·49 + 10·54 + 11·57 = 2 995. σxy = 2 995/10 − 6,5·41,6 = 299,5 − 270,4 = 29,1.
Correlación: r = σxy/(σx·σy) = 29,1/(2,872 · 10,190) = 29,1/29,269 ≈ 0,994.
Interpretación: la relación lineal es positiva y prácticamente perfecta. El coeficiente de determinación r² ≈ 0,988 indica que alrededor del 98,8 % de la variabilidad de las ventas entre tiendas queda explicada por la variación de la inversión publicitaria. La nube de puntos es claramente ascendente y muy compacta: no hay valores atípicos que deformen el ajuste. Conviene añadir la advertencia habitual: correlación fuerte no implica causalidad, aunque en este caso el mecanismo (más publicidad → más tráfico → más ventas) es plausible.
2. Obtén la recta de regresión de y sobre x y estima las ventas de una tienda que invierta 12 000 € en publicidad. ¿Qué porcentaje de la variabilidad explica el modelo?
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Pendiente: b = σxy/σx² = 29,1/8,25 = 3,5273 ≈ 3,53 (miles de € de ventas por cada mil € adicionales de publicidad).
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄ = 41,6 − 3,5273·6,5 = 41,6 − 22,93 = 18,67.
Recta: ŷ = 18,67 + 3,53x (x e ŷ en miles de €).
Estimación para x = 12: ŷ = 18,67 + 3,53·12 = 18,67 + 42,36 = 61,03, es decir, unas 61 000 € de ventas.
Fiabilidad: r² = 0,994² ≈ 0,988 → el modelo explica el 98,8 % de la variabilidad de las ventas. La estimación es fiable porque x = 12 está muy cerca del rango observado (de 2 a 11). Nótese que la ordenada 18,67 carece de interpretación económica directa: sería la venta esperada con publicidad cero, valor fuera del rango de datos y probablemente irreal, ya que incluso sin publicidad habría ventas de base no captadas por el modelo.
3. Una tienda de otra provincia, con 11 000 € de publicidad, vendió 52 000 €. Calcula su residuo respecto a la recta y valora si el modelo sirve para planificar una inversión de 20 000 €.
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Predicción: ŷ(11) = 18,67 + 3,53·11 = 18,67 + 38,83 = 57,50 (miles de €).
Residuo: e = y − ŷ = 52 − 57,50 = −5,50 miles de €. La tienda vendió unos 5 500 € menos de lo que el modelo predecía.
Valoración del residuo: la desviación típica de y es 10,19, luego el residuo equivale a 5,50/10,19 ≈ 0,54 desviaciones típicas. Es una desviación moderada, no un valor atípico grave: entra dentro de la dispersión esperada y no obliga a rehacer el modelo, aunque sí a investigar la tienda (ubicación, competencia, antigüedad del local).
Inversión de 20 000 €: la predicción sería ŷ = 18,67 + 3,53·20 = 89,27, unos 89 000 €. Pero x = 20 está muy lejos del rango observado (2 a 11) y supone duplicar la inversión máxima registrada: es una extrapolación. Los datos no permiten sostener que la relación siga siendo lineal tan lejos; es razonable esperar saturación (rendimientos decrecientes de la publicidad) o competencia por el mismo mercado. La respuesta correcta es rechazar esa planificación basada solo en la recta y, si se quiere explorar, recoger datos de tiendas con inversiones altas o usar un modelo no lineal.