Órbita sincrónica y transferencia en un exoplaneta rocoso
Una sonda de 850 kg orbita un exoplaneta rocoso de radio R = 3,40×10^6 m en una órbita circular a 6,00×10^5 m sobre la superficie. El periodo orbital medido es 7,20×10^3 s y coincide con el periodo de rotación del planeta. Los controladores quieren enviar una segunda sonda a una órbita circular de 2,40×10^6 m de altura. Antes de autorizar la maniobra, el equipo debe conocer la masa y la densidad media del planeta, comprobar si la órbita baja es estacionaria y estimar la energía adicional necesaria para el cambio de órbita, suponiendo que se realiza mediante una transferencia impulsiva desde la órbita baja. No se dispone de datos sísmicos ni de la composición interna; solo se pueden usar las observaciones orbitales. La telemetría indica que la órbita baja no presenta excentricidad apreciable y que la masa de la sonda es despreciable frente a la del planeta.
1. Calcula la masa y la densidad media del planeta a partir de la órbita baja. ¿Qué tipo de cuerpo parece ser?
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Datos y radio orbital. La órbita es circular: r1 = R + h1 = 3,40×10^6 + 0,60×10^6 = 4,00×10^6 m. La masa se obtiene de la tercera ley de Kepler aplicada a un satélite: M = 4π²r³/(GT²).
Sustitución. M = 4π²(4,00×10^6)^3 / [(6,674×10^-11)(7,20×10^3)^2] = 7,3×10^20 kg.
Densidad. V = (4/3)πR³ = (4/3)π(3,40×10^6)^3 = 1,65×10^20 m³; ρ = M/V = 4,4×10^3 kg/m³. Es una densidad comparable a la de un planeta rocoso, no a la de un gigante gaseoso. La órbita permite pesarlo sin conocer su composición interna.
2. Determina la energía adicional mínima que debe comunicarse a la sonda de 850 kg para pasar de la órbita baja a la alta. Comenta de qué depende el resultado.
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Energía mecánica de una órbita circular. E = -GMm/(2r), porque la energía cinética es GMm/(2r) y la potencial -GMm/r.
Variación. ΔE = E2 - E1 = (GMm/2)(1/r1 - 1/r2). Con r2 = 3,40×10^6 + 2,40×10^6 = 5,80×10^6 m y GM = 4,87×10^10 m³/s²: ΔE = (4,87×10^10×850/2)(1/4,00×10^6 - 1/5,80×10^6) = 1,6×10^6 J.
Interpretación. Es la energía mínima ideal, sin pérdidas por combustión ni por el tiempo finito de encendido. Depende de la masa del planeta a través de GM y de la masa de la sonda; no depende de la masa del satélite si se expresa por unidad de masa.
3. ¿Por qué la órbita baja se mantiene siempre sobre el mismo punto del planeta y por qué la órbita alta no puede ser estacionaria? ¿Qué periodo tendría esta última?
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Órbita estacionaria. Un satélite es estacionario si su periodo orbital coincide con el de rotación del planeta y gira en el mismo sentido. Para una órbita circular, el radio queda fijado por Kepler: r³ = GMT²/(4π²). El radio r1 = 4,00×10^6 m da justamente T = 7,20×10^3 s, igual a la rotación; por eso se mantiene sobre el mismo punto.
Órbita alta. Para r2 = 5,80×10^6 m, T2 = 2π√(r2³/GM) = 2π√[(5,80×10^6)^3/(4,87×10^10)] ≈ 4,0×10^5 s, unos 4,6 días. Al ser mucho mayor que 7,20×10^3 s, el satélite se retrasa respecto a la superficie y no puede ser estacionario. Solo hay un radio estacionario para cada periodo de rotación.