Selector de velocidades y radio de curvatura para protones
En un laboratorio se caracteriza un haz de protones mediante un selector de velocidades. Los protones entran horizontalmente y atraviesan una región donde coexisten un campo eléctrico E = 1,50×10^4 V/m, dirigido verticalmente hacia arriba, y un campo magnético B = 0,0500 T, perpendicular al haz y al campo eléctrico. A la salida, un colimador deja pasar únicamente las partículas que no se han desviado. Después, el haz seleccionado entra en una cámara sin campo eléctrico, pero con el mismo campo magnético B, y describe una trayectoria circular hasta impactar en un detector. El técnico quiere saber la velocidad de los protones, el radio de su trayectoria y qué ocurriría si se intentara seleccionar electrones con la misma configuración. Se supone que los campos son uniformes en sus regiones y que la velocidad inicial es perpendicular a B. La masa del protón es 1,673×10^-27 kg y su carga 1,602×10^-19 C.
1. Determina la velocidad de los protones seleccionados y razona la orientación del campo magnético si el eléctrico apunta hacia arriba y el haz avanza hacia la derecha.
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Condición de no desviación. Para que el protón siga recto, las fuerzas eléctrica y magnética deben tener igual módulo y sentidos opuestos: qE = qvB, de donde v = E/B = (1,50×10^4)/(0,0500) = 3,00×10^5 m/s.
Orientación. Si el haz avanza hacia la derecha y E apunta hacia arriba, la fuerza eléctrica sobre un protón positivo también apunta hacia arriba. La fuerza magnética debe apuntar hacia abajo. Con v hacia la derecha, la regla de la mano derecha exige que B salga del plano del papel, hacia el lector: v × B apunta hacia abajo. Si se invirtiera el sentido de B, el protón se desviaría hacia arriba.
2. Calcula el radio de la trayectoria circular en la cámara con solo B y el tiempo que tarda el protón en recorrer una semicircunferencia.
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Radio. En la cámara con solo B, la fuerza magnética es centrípeta: qvB = mv²/r, luego r = mv/(qB) = (1,673×10^-27×3,00×10^5)/[(1,602×10^-19)(0,0500)] = 6,27×10^-2 m ≈ 6,3 cm.
Tiempo en media circunferencia. El periodo es T = 2πm/(qB) = 1,31×10^-6 s. Para media vuelta, t = T/2 = 6,56×10^-7 s. Este tiempo no depende de la velocidad en el régimen no relativista, porque al aumentar v también aumenta r en la misma proporción.
3. ¿Podrían seleccionarse electrones de 3,00×10^5 m/s con los mismos campos? ¿Y qué radio describirían en la cámara magnética? Justifica si el selector depende del signo de la carga.
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Electrones con los mismos campos. Sí pueden seleccionarse a la misma velocidad. Para una carga negativa, la fuerza eléctrica se invierte, pero la magnética también se invierte porque cambia el signo de q; ambas siguen siendo opuestas y se cancelan cuando v = E/B. El selector no distingue el signo de la carga, solo la relación velocidad-campo.
Radio del electrón. r_e = m_e v/(eB) = (9,11×10^-31×3,00×10^5)/[(1,602×10^-19)(0,0500)] = 3,4×10^-5 m ≈ 0,034 mm. Giraría en sentido contrario al protón y con un radio unas 1800 veces menor, debido a su masa mucho menor.