Muones cósmicos: dilatación temporal y contracción de longitudes
En un experimento de física de partículas se estudian muones cósmicos generados en la atmósfera a 10,0 km de altitud. En el sistema del laboratorio los muones viajan verticalmente hacia el suelo con una velocidad de 0,9980c. Su vida media propia es 2,20 μs y se supone que no interaccionan antes de desintegrarse. Un detector situado al nivel del mar registra un flujo de 420 muones por metro cuadrado y hora. El equipo quiere comprobar si la relatividad especial es necesaria para explicar la supervivencia de estos muones y estimar cuántos llegarían al suelo si se despreciaran los efectos relativistas. También se plantea analizar el mismo proceso desde el sistema de referencia del muón. Toma c = 3,00×10^8 m/s y desprecia la variación de velocidad en la atmósfera.
1. Calcula el factor de Lorentz, la vida media observada en el laboratorio y la distancia media que recorre un muón antes de desintegrarse. ¿Qué conclusión se extrae?
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Factor de Lorentz. β = 0,9980; γ = 1/√(1-β²) = 1/√(1-0,996004) = 15,8.
Vida media en el laboratorio. τ = γτ0 = 15,8×2,20×10^-6 = 3,48×10^-5 s.
Distancia media. d = vτ = 0,9980×3,00×10^8×3,48×10^-5 = 1,04×10^4 m ≈ 10,4 km. Un muón típico recorre una distancia comparable a la altura de la atmósfera, por lo que una fracción apreciable puede llegar al suelo. Sin relatividad la distancia sería solo de unos 0,66 km.
2. Estima la fracción de muones que alcanza el nivel del mar y compárala con la predicción clásica sin dilatación temporal.
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Fracción en el laboratorio. El tiempo de vuelo hasta el suelo es t = L/v = 10,0×10^3/(0,9980×3,00×10^8) = 3,34×10^-5 s. La supervivencia es N/N0 = e^(-t/τ) = e^(-3,34×10^-5/3,48×10^-5) = e^(-0,96) ≈ 0,38.
Predicción clásica. Sin dilatación, d0 = vτ0 = 0,9980×3,00×10^8×2,20×10^-6 = 658 m. La fracción sería e^(-10000/658) = e^(-15,2) ≈ 2,5×10^-7, prácticamente nula. La observación de muones al nivel del mar es una prueba directa de la dilatación temporal.
3. Describe el proceso en el sistema del muón: ¿qué distancia recorre hasta el suelo y qué tiempo tarda? Comprueba que la fracción superviviente coincide.
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Sistema del muón. En su propio sistema, la distancia que debe recorrer la atmósfera está contraída: L' = L/γ = 10,0×10^3/15,8 = 632 m. El tiempo que tarda el suelo en llegar es t' = L'/v = 632/(0,9980×3,00×10^8) = 2,11×10^-6 s.
Supervivencia. N/N0 = e^(-t'/τ0) = e^(-2,11/2,20) = e^(-0,96) ≈ 0,38. Coincide con el cálculo del laboratorio: la dilatación temporal y la contracción de longitudes son dos descripciones del mismo fenómeno. No se deben aplicar ambas a la vez para duplicar el efecto.