Rizo vertical con tramo rugoso: condición de no perder contacto
Un carrito de 0,50 kg se suelta desde el reposo en una rampa sin rozamiento, a una altura h sobre el punto más bajo de un rizo vertical de radio R = 0,80 m. Antes de entrar en el rizo, el carrito recorre un tramo horizontal rugoso de 1,50 m de longitud, con coeficiente de rozamiento cinético μ = 0,20. El resto del recorrido, incluido el rizo, se considera sin pérdidas. El diseño debe garantizar que el carrito no pierda contacto con la pista en el punto más alto. Un operario propone una altura h = 2,60 m y pide comprobar si se cumple el requisito y qué fuerzas normales soportará el carrito en el punto más alto y en el más bajo. Toma g = 9,8 m/s². La masa del carrito se concentra en un punto y el radio del rizo es constante.
1. Determina la altura mínima h para que el carrito complete el rizo sin perder el contacto en el punto superior.
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Condición en el punto superior. En el punto más alto, peso y normal apuntan hacia abajo: mg + N = mv²/R. El contacto se pierde cuando N = 0, es decir, v_min² = gR.
Balance energético. Desde la salida hasta el punto superior, la energía mecánica disminuye por rozamiento en μmgd. Así, mg(h - μd) = mg(2R) + (1/2)mv_min². Sustituyendo v_min² = gR: h - μd = 2R + R/2 = 2,5R.
Resultado. h_min = 2,5R + μd = 2,5×0,80 + 0,20×1,50 = 2,00 + 0,30 = 2,30 m. Por debajo de esa altura el carrito no puede completar el rizo sin despegarse.
2. Para h = 2,60 m, calcula la velocidad y la fuerza normal en el punto más alto y en el más bajo del rizo.
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Altura efectiva. Para h = 2,60 m, la energía disponible equivale a h_eff = h - μd = 2,60 - 0,30 = 2,30 m.
Punto superior. v_top² = 2g(h_eff - 2R) = 2×9,8×0,70 = 13,72 m²/s²; v_top = 3,70 m/s. N_top = m(v_top²/R - g) = 0,50(13,72/0,80 - 9,8) = 3,7 N. Es positiva, luego no pierde contacto.
Punto inferior. v_bot² = 2gh_eff = 2×9,8×2,30 = 45,08 m²/s². N_bot = mg + mv_bot²/R = 0,50×9,8 + 0,50×45,08/0,80 = 4,9 + 28,2 = 33,1 N. La normal es mucho mayor que el peso porque debe proporcionar la fuerza centrípeta.
3. Explica qué ocurriría si h = 2,20 m y por qué no basta con que el carrito llegue al punto superior con velocidad distinta de cero.
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Con h = 2,20 m. La altura efectiva es h_eff = 2,20 - 0,30 = 1,90 m. Si llegara al punto superior, v² = 2g(1,90 - 1,60) = 5,88 m²/s², menor que gR = 7,84 m²/s². La ecuación radial daría N = m(v²/R - g) < 0, imposible para una pista que solo empuja.
Interpretación. El carrito se separa antes de llegar arriba: la gravedad por sí sola no basta para mantener la trayectoria circular. No basta con que v > 0 en el punto superior; se necesita v² ≥ gR para que la componente centrípeta no supere al peso.