Red de difracción: longitud de onda e incertidumbre experimental
Un estudiante mide la longitud de onda de un láser de He-Ne mediante una red de difracción de 600 líneas/mm. Coloca una pantalla a L = 1,200 m de la red y mide la distancia entre los máximos de primer orden situados a ambos lados del máximo central: 0,980 m. Dispone de una regla milimetrada para medir la posición de los máximos y de una cinta métrica con apreciación de 2 mm para L. El valor nominal del láser es 632,8 nm. El estudiante quiere saber si su resultado es compatible con el nominal, estimar la incertidumbre de la longitud de onda y decidir si merece la pena repetir la medida con una red de 1200 líneas/mm. Supón que el ángulo de incidencia es normal y que los máximos son suficientemente estrechos para localizar su centro con la regla.
1. Calcula la longitud de onda experimental a partir de la separación de los máximos de primer orden.
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Constante de la red. 600 líneas/mm ⇒ d = 1 mm/600 = 1,667×10^-6 m.
Ángulo. La separación total es 0,980 m, luego y = 0,490 m desde el centro. sinθ = y/√(L² + y²) = 0,490/√(1,200² + 0,490²) = 0,3780.
Longitud de onda. λ = d sinθ = 1,667×10^-6×0,3780 = 6,30×10^-7 m = 630 nm. El valor nominal es 632,8 nm; la diferencia es de 2,8 nm, un 0,44 %.
2. Estima la incertidumbre absoluta de λ usando δy = 1 mm y δL = 2 mm. ¿Es significativa la diferencia con 632,8 nm?
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Propagación. Con s = sinθ, δs/s se obtiene de las derivadas: ∂s/∂y = L²/(L²+y²)^(3/2) = 0,661 m^-1 y ∂s/∂L = -yL/(L²+y²)^(3/2) = -0,270 m^-1. Con δy = 1×10^-3 m y δL = 2×10^-3 m: δs = √[(0,661×10^-3)² + (0,270×2×10^-3)²] = 8,5×10^-4.
Incertidumbre de λ. δλ = λ(δs/s) = 630×(8,5×10^-4/0,378) ≈ 1,4 nm. Por tanto λ = (630 ± 1,4) nm. La diferencia con 632,8 nm es de 2,8 nm, unas dos incertidumbres estándar: no es concluyente. Puede deberse a la calibración nominal de la red, a la localización del centro de los máximos o a un error sistemático en L; conviene repetir y comprobar la red antes de afirmar una discrepancia.
3. Explica cómo cambiaría el diagrama de interferencia si se usara una red de 1200 líneas/mm y por qué el segundo orden podría no ser observable.
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Nueva red. 1200 líneas/mm ⇒ d' = 8,333×10^-7 m. Para el primer orden, sinθ' = λ/d' = 630×10^-9/8,333×10^-7 = 0,756, θ' ≈ 49,1°. La posición en pantalla sería y' = L tanθ' = 1,200×1,155 = 1,39 m, y la separación entre los dos máximos de primer orden sería 2,77 m, mucho mayor. La pantalla de 1,200 m de distancia quedaría probablemente demasiado pequeña.
Segundo orden. Para m = 2, sinθ = 2λ/d' = 1,51 > 1, imposible. Por eso no se observaría el segundo orden: la red es demasiado fina para esa λ. Con la red de 600 líneas/mm, en cambio, el segundo orden sí es posible (sinθ = 0,756).