Verja en arco de medio punto: tangencias y comprobación de una pletina
En el taller de un centro de secundaria se proyecta una verja de hierro forjado para el acceso a una sala de exposiciones. El hueco es un arco de medio punto de 120 cm de luz (radio 60 cm) que apoya sobre una imposta horizontal. El encargo exige simetría estricta respecto al eje vertical del arco y que ninguna pieza quede suelta: todos los elementos deben ser tangentes entre sí y al arco. El alumno propone dos círculos iguales apoyados en la imposta, tangentes entre sí y tangentes al arco, y un tercer círculo menor centrado en el eje, también apoyado en la imposta, para alojar el escudo del municipio. En el taller ya han cortado una pletina circular de 16 cm de diámetro para ese escudo y preguntan si sirve tal cual. El herrero, además, necesita los puntos exactos de soldadura sobre la imposta y sobre el arco, y rechaza cualquier solución obtenida por tanteo.
1. Calcula el radio de los dos círculos iguales y determina las coordenadas de los puntos de tangencia con la imposta y con el arco (origen en el centro del arco, imposta sobre el eje horizontal).
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Tomamos el origen O en el centro del arco: el arco es x² + y² = 60². Por simetría, el círculo derecho tiene centro C = (a, r); la tangencia con la imposta obliga a que el centro esté a altura r, y la tangencia entre los dos círculos iguales obliga a que a = r. La tangencia con el arco exige |OC| = R − r:
√(r² + r²) = 60 − r → r√2 = 60 − r → r(√2 + 1) = 60 → r = 60/2,4142 = 24,85 cm.
Comprobación: r√2 = 35,15 = 60 − 24,85 ✓. Los puntos de soldadura sobre la imposta son (±24,85; 0). Los puntos de tangencia con el arco están sobre la recta OC, que forma 45° con la horizontal, a distancia R del origen: (60·cos45°; 60·sen45°) = (±42,43; 42,43) cm. La distancia de C a ese punto es 60 − 24,85 = 35,15 = r√2, coherente con la tangencia.
2. ¿Sirve la pletina de 16 cm de diámetro? Calcula el radio exacto del círculo tangente a la imposta y a los dos círculos iguales y valora la respuesta que hay que dar al taller.
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El círculo central tiene centro (0, r₃) por estar apoyado en la imposta y centrado en el eje. La tangencia con el círculo derecho (centro (24,85; 24,85), radio 24,85) impone que la distancia entre centros valga r₃ + 24,85:
24,85² + (24,85 − r₃)² = (24,85 + r₃)²
Al desarrollar se cancelan los términos en r₃² y queda 617,5 = 4·24,85·r₃ → r₃ = 6,21 cm, es decir, Ø12,4 cm.
Con la pletina de Ø16 cm (r = 8) la distancia entre centros sería √(617,5 + 16,85²) = 30,02 cm, menor que la suma de radios 24,85 + 8 = 32,85 cm: los círculos se cortarían, no serían tangentes. Respuesta al taller: la pletina no sirve tal cual; hay que mecanizarla a Ø12,4 cm (o rediseñar el escudo para que quepa en ese diámetro).
3. Otro alumno propone suprimir los dos círculos laterales y colocar un único círculo centrado en el eje, tangente a la vez a la imposta y al arco. ¿Qué radio tendría y por qué no puede convivir con los dos círculos iguales?
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Con centro (0, r) y tangencia simultánea a la imposta y al arco: la distancia al centro del arco debe ser R − r, y como el centro está a altura r, se cumple r = 60 − r → r = 30 cm (el círculo de radio mitad).
No puede convivir con los dos círculos de 24,85 cm porque su punto de tangencia mutua es (0; 24,85) y su distancia al centro (0; 30) es solo 5,15 cm, mucho menor que 30: ese punto queda en el interior del círculo grande, de modo que las tres piezas se solapan. La comprobación general lo confirma: la distancia entre (0; 30) y (24,85; 24,85) es √(617,5 + 26,5) = 25,38 cm, menor que 30 + 24,85 = 54,85 cm, luego las circunferencias son secantes y no tangentes. El diseño debe mantener la corona de tres círculos tangentes o reducir el central por debajo del valor calculado en la tarea anterior.