Taco cúbico facetado: sección por plano perpendicular a la diagonal
En el módulo de Diseño de Objetos se fabrica una lámpara a partir de un taco cúbico de madera de 80 mm de arista. El proceso previsto es cortar el cubo con un plano perpendicular a la diagonal principal que pase por su centro, con el fin de obtener una cara plana facetada. El profesorado exige que la sección sea un polígono regular y que la cara cortada se dibuje en verdadera magnitud a escala 1:1, además de su planta y alzado en diédrico europeo. El alumno afirma que «da igual el plano que se elija mientras pase por el centro» y presenta un dibujo en el que la sección se ha trazado directamente sobre la planta. El taller dispone de planchas circulares de metacrilato de 120 mm de diámetro para pegar la cara vista, y hay que decidir si la pieza cortada cabe en ellas. También se quiere saber el ángulo que forma el plano de corte con la base del cubo para programar la inclinación de la sierra.
1. Determina la verdadera magnitud de la sección (lado, apotema, circunradio y área) y decide si la plancha de 120 mm de diámetro sirve.
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Con el cubo en 0 ≤ x, y, z ≤ 80 y la diagonal de (0,0,0) a (80,80,80), el plano perpendicular que pasa por el centro (40,40,40) es x + y + z = 120. Sus cortes con las aristas son (80,40,0), (40,80,0), (0,80,40), (0,40,80), (40,0,80) y (80,0,40): los puntos medios de seis aristas.
Dos puntos consecutivos están en una misma cara del cubo y son los puntos medios de dos lados de un cuadrado de 80 mm, luego el lado mide √(40² + 40²) = 56,57 mm. Por simetría todos los lados son iguales y todos los ángulos valen 120°: es un hexágono regular.
Apotema = 56,57·cos30° = 49,0 mm; circunradio = lado = 56,57 mm; área = (3√3/2)·56,57² = 8 314 mm² ≈ 83,1 cm².
Anchura máxima = 2·56,57 = 113,1 mm < 120 mm: la plancha sirve, pero con solo 1,7 mm de margen por lado, insuficiente para el corte. Conviene pedir planchas de 130 mm o replantear el proceso.
2. Explica cómo se obtiene la sección en verdadera magnitud en diédrico y por qué el trazado directo sobre la planta es incorrecto. ¿Qué figura aparece realmente en la planta?
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El plano es oblicuo a los tres planos de proyección, de modo que ninguna vista contiene la verdadera magnitud: toda proyección acorta las longitudes. Procedimiento correcto: (1) definir el plano por sus trazas (la traza horizontal es x + y = 120, a 45° de los ejes); (2) localizar los seis puntos de corte con las aristas y unirlos en planta y alzado respetando la visibilidad; (3) abatir el plano de corte sobre el horizontal, o hacer un cambio de plano con un nuevo plano paralelo a la sección.
En la planta, la sección no es el hexágono regular: sus vértices caen en (80,40), (40,80), (0,80), (0,40), (40,0) y (80,0), de modo que dos coinciden con vértices del cuadrado de la planta, las aristas aparecen escorzadas y los ángulos no valen 120°. El hexágono regular solo aparece tras el abatimiento o el cambio de plano.
3. Calcula el ángulo que forma el plano de corte con la base del cubo para programar la inclinación de la sierra.
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El ángulo entre dos planos es el que forman sus normales. La normal del plano de corte es (1,1,1)/√3 y la de la base es (0,0,1). Por tanto:
cos θ = (1/√3) = 0,5774 → θ = 54,74°
La sierra debe inclinarse 54,74° respecto a la horizontal, lo que equivale a 35,26° respecto a la vertical (la inclinación de la diagonal del cuerpo, arcsen(1/√3)). Conviene expresarlo en la orden de trabajo con una tolerancia angular, porque un error de 1° desplaza los vértices del hexágono casi 1 mm en una pieza de 80 mm.