Geometría plana y construcciones geométricas
La geometría plana es la base instrumental de toda la materia: aquí se comprueba si el candidato domina los trazados con regla y compás y, sobre todo, si sabe justificar cada construcción a partir de lugares geométricos. Los contenidos con más peso son mediatrices, bisectrices, ángulos, polígonos regulares, tangencias y enlaces, curvas cónicas y técnicas (óvalo, ovoide, espiral), proporcionalidad, media proporcional y escalas.
Lugares geométricos y trazados básicos
- Mediatriz: puntos equidistantes de A y B. De ella salen la perpendicular por un punto, el circuncentro, el arco capaz y el centro de cualquier circunferencia que pase por dos puntos.
- Bisectriz: puntos equidistantes de dos rectas; es el lugar de los centros de circunferencias tangentes a ambas.
- Arco capaz de ángulo α sobre AB: centro en la mediatriz, ángulo central 2α. El arco capaz de 90° es la circunferencia de diámetro AB (Thales), herramienta clave en tangencias.
Polígonos, tangencias y curvas
- Pentágono regular: la diagonal es φ veces el lado; también se resuelve con el arco capaz del ángulo central de 72°. En el hexágono, lado = radio.
- Tangencia: la recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia; entre dos circunferencias, los centros y el punto de tangencia están alineados.
- Enlace de radio r: los centros se obtienen por intersección de lugares geométricos (paralelas a distancia r; circunferencias de radio R+r si la tangencia es exterior y R−r si es interior).
- Cónicas: elipse con PF + PF' = 2a; parábola por equidistancia a foco y directriz; hipérbola con |PF − PF'| = 2a y asíntotas como referencia.
Ejemplo resuelto
Tangentes a una circunferencia de centro O y radio r desde un punto P exterior. Se une O con P y se traza la mediatriz de OP; con centro en el punto medio y radio hasta O se dibuja la circunferencia de diámetro OP (Thales). Sus cortes con la circunferencia dada son T1 y T2, porque el ángulo OTP es recto y, por tanto, PT es perpendicular al radio OT. Las rectas PT1 y PT2 son las tangentes buscadas; el trazado auxiliar se hace fino y los puntos de tangencia se marcan con precisión.
Errores que restan puntos
- Unir P con el centro y presentar esa recta como tangente.
- Elegir radios equivocados en un enlace interior (R−r en lugar de R+r).
- Trazar sin marcar los puntos de tangencia o sin justificar el lugar geométrico empleado.
- Recargar la lámina con auxiliares de grosor igual al resultado.