Péndulo simple: por qué la gravedad sale un 5 % baja
En el laboratorio del centro, dos alumnos deben determinar la aceleración de la gravedad con un péndulo simple. Disponen de hilo inextensible, una esfera de 1.2 cm de radio, un cronómetro manual (resolución 0.01 s), una regla graduada en milímetros y un transportador. Miden la longitud desde el punto de suspensión hasta el punto de unión con la esfera, sin añadir el radio, para cuatro longitudes: 0.400, 0.600, 0.800 y 1.000 m. Separan el péndulo 30° de la vertical y cronometran 20 oscilaciones completas, poniendo en marcha el cronómetro al decir «ya» y deteniéndolo cuando la esfera vuelve al extremo de lanzamiento. Representan T² frente a L y obtienen una recta de pendiente 4.25 s²/m y ordenada en el origen −0.010 s². El valor de referencia es g = 9.81 m/s². Antes de repetir el experimento, el profesor les pide que decidan qué parte del procedimiento es responsable de la discrepancia en lugar de repetir sin más.
1. Calcula el valor de g que se deduce de la pendiente y su error relativo respecto a 9.81 m/s². Si se corrigiera la longitud sumando el radio de la esfera a las cuatro longitudes, ¿cambiaría el valor de g? Justifica la respuesta.
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La representación T² frente a L es una recta de pendiente m = 4π²/g, de modo que:
g = 4π²/m = 39.478/4.25 = 9.29 m/s²
Error relativo = |9.29 − 9.81|/9.81 = 0.053 → 5.3 % (el valor medido es menor que el real).
Corregir el radio equivale a sumar 0.012 m a las cuatro longitudes: L′ = L + 0.012. Sustituyendo, T² = m·L′ + (b − 0.012·m), es decir, la pendiente no cambia y solo se desplaza la ordenada en el origen (de −0.010 a ≈ −0.061 s²). Como g depende exclusivamente de la pendiente, el resultado no se corrige.
La interpretación es general: un error constante en la medida de L es un error en el origen de la recta, no en su inclinación. Por eso el radio de la esfera no explica la discrepancia; lo que sí lo haría es cualquier efecto que multiplique T² (amplitud grande, masa del hilo) o un desfase sistemático en el cronometraje.
2. De las decisiones del procedimiento (medir la longitud sin el radio, usar una amplitud de 30° y cronometrar 20 oscilaciones a mano), ¿cuál explica mejor que g salga baja? Estima su efecto de forma aproximada e indica el signo.
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El efecto dominante es la amplitud de 30°. El periodo real de un péndulo no es isócrono:
T ≈ T₀·(1 + θ²/16), con θ en radianes
θ = 30° = 0.524 rad → θ²/16 = 0.0172, luego T es un 1.7 % mayor que el periodo de pequeñas oscilaciones y T² un 3.4 % mayor. Como T² se representa frente a L, ese factor multiplica la pendiente: m sería un 3.4 % mayor y g = 4π²/m saldría un 3.3 % bajo, es decir ≈ 9.49 m/s² en lugar de 9.81. Esto explica aproximadamente dos tercios de la discrepancia observada, y con el signo correcto (g medida < g real).
Las otras dos decisiones no encajan: el radio de la esfera desplaza solo la ordenada en el origen (ya visto) y el cronometraje manual introduce un desfase de unos 0.2 s repartido entre 20 oscilaciones (0.01 s por periodo), lo que para T ≈ 2 s supone un 0.5 % en T y un 1 % en T², además de que su signo depende de si el operador arranca tarde o para tarde; si arranca tarde y para al paso por el extremo, el periodo medido es más corto y g saldría alta, en contra de lo observado. El resto de la diferencia es compatible con la masa del hilo y el tamaño finito de la esfera.
3. Propón dos modificaciones concretas del procedimiento, indica qué tipo de error reduce cada una y explica si repetir el experimento tal cual mejoraría el resultado.
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Modificación 1: reducir la amplitud a 5° o menos (θ = 0.087 rad, corrección ≈ 0.05 %, despreciable) o aplicar el factor de corrección. Elimina un error sistemático que actúa sobre la pendiente y que, por tanto, sesga g siempre en el mismo sentido.
Modificación 2: medir la longitud hasta el centro de la esfera y cronometrar con una barrera fotoeléctrica (o, como mínimo, contar 50 oscilaciones). La barrera elimina el tiempo de reacción del operador, que aporta una componente aleatoria y otra sistemática; medir hasta el centro da significado físico a la ordenada en el origen, aunque no modifica la pendiente. Contar más oscilaciones reduce el peso relativo del error de arranque y parada.
Repetir tal cual no sirve: el resultado está dominado por un efecto sistemático (la amplitud). Al repetir con 30° se obtendría otra vez ≈ 9.3 m/s² con una dispersión pequeña; se ganaría precisión (medidas más reproducibles) sin ganar exactitud. Antes de repetir hay que cambiar el protocolo, y conviene comprobar además que el hilo es inextensible y de masa despreciable frente a la esfera.